哈尔滨工业大学2005年硕士生入学考试大纲：数学分析、高等代数

哈尔滨工业大学数学系2004年硕士研究生

招 生 简 介

 

 

    哈尔滨工业大学是国家首批六所重点院校之一，是全国重点建设的15所高校之一，是国家首批进入“211工程”建设的院校之一，是国家确定的按照世界知名高水平大学目标重点建设的九所大学之一。在哈尔滨工业大学就读的成绩优秀的硕士生可以免试攻读博士学位。

 

数学系系况简介

 

    哈尔滨工业大学数学系现在拥有基础数学博士点和博士后流动站以及基础数学、应用数学、计算数学、运筹学与控制论四个硕士学位授权点。数学系拥有一支研究领域广泛、学识渊博、治学严谨、教学优秀的师资队伍，其中有博士生指导教师13人，教授26人，副教授31人。近年来数学系取得了一系列优秀科研成果，多次获得国家教委、航天工业总公司、国防科工委和黑龙江省的科技进步奖，承担了多项国家自然科学基金项目。数学系现有配置先进的教学科研计算机实验室。数学系资料室藏书丰富，可供广大师生教学科研使用。目前，全国模糊数学学会，黑龙江省数学会及黑龙江省工程数学学会都挂靠在哈工大数学系。

 

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招生名额及考试科目

（数学系2004年招收78名硕士生）

 

 

 

参考书一览表

 

硕士生指导教师一览表

 

 

哈尔滨工业大学数学学科硕士生入学考试

专业课考试基本要求

 

专    业：基础数学

考试科目：数学分析、高等代数

复试科目：实变函数

 

数 学 分 析

 

一、极限和连续

    1．熟练掌握数列极限与函数极限的概念，包括数列的上、下极限和函数的左、右极限。

    2．掌握极限的性质及四则运算性质，特别要能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。

    3．熟练掌握实数系的基本定理：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，Bolzano-Weierstrass定理，Heine-Borel有限覆盖定理，Cauchy收敛准则；并理解相互关系。

    4．熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够运用函数连续的四则运算与复合运算性质以及相对应的无穷小量的性质；并理解两者的相互关系。

    5．熟练掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理和Contor定理。

二、一元函数微分学

    1．理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义和物理意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。

    2．熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高介导数的运算法则，会求分段函数的导数。

    3．熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和平共处Cauchy中值定理以及Taylor公式。

    4．能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。

    5．掌握用L’Hospital法则求不定式极限的方法。

三、一元函数积分学

    1．理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求有理函数、三角有理函数和简单元理函数的积分。

    2．掌握定积分的概念，包括Darboux和，上、下积分及可积条件与可积函数类。

    3．掌握定积分的性质，熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法。

    4．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积，平面贡线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积，变力做功和物体的质量与质心）。

    5．理解广义积分的概念。熟练掌握判断广义积分收敛的比较判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法；其中包括积分第二中值定理。

四、无穷级数

    1．理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。

    2．熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，Cauchy判别法，D’Alembert判别法与积分判别法。

    3．熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的Leibnitz判别法。掌握绝对收敛级数的性质。

    4．熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Weierstrass判别法。Abel判别法和Dirichlet判别法。熟练掌握一致收敛级数的性质。

    5．掌握幂级数及其收敛半径的概念，包括Cauchy-Hadamard定理和Abel第一定理。

    6．熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。了解Weierstrass逼近定理。

    7．了解Fourier级数的概念与性质以及敛散性的判别法。

五、多元函数微分学与积分学

    1．理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数与全微分。

    2．掌握隐函数存在定理。

    3．会求多元函数极值和无条件极值，了解偏导数的几何应用。

    4．掌握重积分、曲线积分和曲面积分的概念与计算。

    5．熟练掌握Gauss公式、Green公式和Stoks公式及其应用。

六、含参变量积分

    1．了解含参变量常义积分的概念与性质。

    2．掌握含参变量广义积分的一致收敛性的概念及其判别法。掌握一致收敛的含参变量广义积分的性质。

    主要参考书：

    1．数学分析（上、下册），复旦大学数学系编，上海科学技术出版社。

    2．数学分析习题集，北京大学数学系编，高等教育出版社。

高 等 代 数

 

    注：下文中“章、节”指《高等代数》（北大，高教版）中的章、节。

一、多项式（第一章1~11节）

    1．理解数域，多项式，整除，最大公因式，互素，不可约，k重因式，重因式的概念。了解多项式环，微商，本原多式，字典排序法，对称多项式，初等对称多项式，齐次多项式，多项式函数等概念。

    2．掌握整除的性质，带余除法定理，最大公因式定理，互素的判别与性质，不可约多项式的判别与性质，多项式唯一因式分解定理，余式定理，因式定理、代数基本定理，Vieta定理，高斯引理，Eisenstein判别定理，对称多项式基本定理。

    3．掌握 无重因式的充要条件， 的判别条件，Lebesgue插值公式，复数域、实数域及有理数域上多项式因式分解理论，有理多项式的有理根范围。

    4．掌握辗转相除法，综合除法。会化对称多项式为初等对称多项式的多项式的方法。

二、行列式（第二章1~8节）

    1．了解行列式的概念，理解行列式的子式，余子式及代数余子式的概念。

    2．掌握行列式的性质，按行、列展开定理，Gramer法则，Laplace定理，行列式乘法公式。

    3．会用行列式的性质及展开定理计算行列式，掌握计算行列式的基本方法。

三、线性方程组（第三章1~6节）

    1．理解向量线性相关，向量组等价，极大无关组，向量组的秩，矩阵的秩，基础解系，解空间等概念。

    2．掌握线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构。

    3．掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。

四、矩阵（第四章1~7节）

    1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称阵、反对称阵的概念及其性质。

    2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律。

    3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件。理解伴随矩阵的概念，掌握伴随矩阵的性质。

    4．掌握矩阵的初等变换、掌握初等矩阵的性质，理解矩阵等价的概念，会用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。

    5．理解分块矩阵，掌握分块阵的运算及初等变换。

五、二次型（第五章1~4节）

    1．理解二次型的概念及二次型的矩阵表示，了解二次型秩的概念，掌握二次型的标准形、规范形的概念及惯性定律。

    2．掌握用合同变换、正交变换化二次型为标准形的方法。

    3．掌握二次型和对应矩阵的正定、半正定、负定、半负定及其判别法。

六、线性空间（第六章1~8节）

    1．理解线性空间，子空间，生成子空间，基底，维数，坐标，过渡矩阵，子空间的和与直和等概念。了解线性空间同构的概念。

    2．掌握基扩张定理，维数公式，掌握直和的充要条件。

    3．会求基底，维数，坐标，过渡矩阵。

七、线性变换（第七章1~9节）

    1．理解线性变换，特征值，特征向量，特征多项式，特征子空间，不变子空间，线性变换的矩阵，相似变换，相似矩阵，线性变换的值域与核，Jardan标准形，最小多项式等概念。

    2．掌握线性变换的性质，相似矩阵的性质，特征值、特征向量的性质，核空间与值域的性质，不变子空间的性质。掌握Hamilton-Cayley定理及将线性空间V分解成A–不变子空间的条件和方法，了解最小多项式理论。

    3．掌握线性变换的矩阵表示方法，求线性变换的特征值、特征向量的方法，矩阵可相似对角化的条件与方法。掌握线性变换与矩阵“互化”的思想方法，会用各种特殊子空间解决相关问题。

八、 矩阵（第八章1~6节）

    1．理解 矩阵的秩，可逆 矩阵， 矩阵的初等变换，行列式因子，不变因子，初等因子等概念，了解 矩阵的标准形。

    2．掌握 矩阵可逆的充要条件， 矩阵等价的充要条件，数字矩阵相似的充要条件，了解Jordan标准形的理论推导。

    3．会求 矩阵的标准形及不变因子。会求数字矩阵的Jodan标准形。

九、欧几里得空间（第九章1~6节）

    1．掌握内积，欧氏空间，向量长度、夹角、距离，度量矩阵，标准正交基、正交补，正交变换，正交阵，对称变换，同构等概念。

    2．掌握Schmidt正交化方法。掌握标准正交基的性质，正交变换的性质，正交阵的性质，对称变换的性质及标准形。

3．掌握实对称阵的特征值、特征向量的性质。会用正交相似变换将实对称阵相似（合同）对角化。

实 变 函 数

 

一、集与点集

    1．熟练掌握集合的运算及其性质。

    2．熟练掌握一维数集的开、闭集及其性质。

    3．熟练掌握集合的势及其相关的定理。

二、Lebesgue测度

    1．熟练掌握一维点集的内、外测度与可测集的性质。

    2．熟练掌握一维点集可测性的基本定理。

    3．熟练掌握一维点集可测的构造。

三、可测函数

    1．熟练掌握可测函数的定义与性质

    2．熟练掌握可测函数列的三种收敛及其相关定理，如叶果洛夫定理、里斯定理等。

    3．熟练掌握可测函数的鲁津定理。

四、Lebesgue积分

    1．熟练掌握Lebesgue积分的定义与性质。

    2．熟练掌握Lebesgue积分的基本定理如勒维定理、法都引理和Lebesgue控制收敛定理。

    3．熟练掌握Lebesgue积分与Riemann积分的关系。

    4．熟练掌握Lebesgue积分的应用如单调函数、有界变差函数、绝对连续函数的性质及其相关定理。

五、L^P空间

    1．理解L^P空间的定义及基本性质。

    2．了解L^P空间的可分性与完备性。

    参考书：《实变函数与泛函分析概要》，王声望、郑维行编，高教出版社。

 

专    业：应用数学、计算数学、运筹学与控制论

考试科目：数学分析、高等代数（要求同基础数学专业）

复试科目：数值计算方法基本理论

 

 

数值计算方法基本理论

 

一、非线性方程求根

    掌握非线性方程求根的二分法、简单迭代法、牛顿法、割线法及求解非线性方程组的拟牛顿法基本思想。深刻理解如何建立收敛的上述各种迭代法并了解其计算效率。

二、线性方程组数值解法

    掌握高斯消去法、雅可比迭代法、高斯—赛德尔迭代法、超松驰迭代法、共轭梯度法及这些方法的收敛性条件并了解条件数的意义。

三、数值逼近

    掌握拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值、样条插值、有理插值、最小二乘法等逼近方法的基本思想及它们之间的关系。理解正交多项式在数值逼近中的作用。理解龙格现象。掌握实际应用中各种数值逼近方法的适用对象。

四、数值积分

    掌握梯形求积公式、辛甫生求积公式、牛顿—柯特斯求积公式、龙贝格求积公式、高斯求积公式及各种复化公式、蒙特卡罗方法。深刻理解这些求积公式的误差估计及应用。

五、常微分方程初值问题数值解法

    掌握欧拉法、龙格—库塔法、阿达姆斯方法、线性多步法的一般形式及这些方法的阶。掌握这些差分格式的构造方法及稳定性分析。