复旦大学2005年入学研究生《数学分析与线性代数》专业课程考试大纲
第一部分 数学分析
考试题型：判断说明理由、简答、计算和证明
参考书目：《数学分析》欧阳光中等，上海科技出版社
或《数学分析》陈纪修，金路等，高等教育出版社
总分：105分
一、极限与连续
内容：
映射与函数；数列的极限、函数的极限；实数系的连续性、 连续函数、一致连续；Rn中的点集、多元函数的极限与连续；函数和连续函数的各种性质。
要求：
理解集合、映射、函数、极限、连续、一致连续等概念；理解极限和连续的有关性质和定理；掌握求数列和函数极限的各种方法；掌握连续性、间断性的判别方法。
二、微分与导数
内容：
微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；全微分和偏导数的概念；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒公式；最值和极值。
要求：
理解微分和导数的概念、关系、几何意义和性质；掌握求微分和导数（一阶和高阶，一元和多元，隐函数，复合函数）的各种方法；理解和应用微分中值定理；掌握各种最值和极值的求法（一元和多元，条件极值）；判断函数的凹凸性；求空间曲面的切平面和空间曲线的切线。
三、一元和多元函数的积分
内容：
定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；重积分的概念及其性质、重积分的计算；曲线积分和曲面积分；反常积分的定义和判别。
要求：
理解定积分的概念、性质、意义和微积分基本定理，理解黎曼积分概念，并能灵活应用；掌握不定积分和定积分的各种计算方法（换元法、分部积分、有理函数积分）；掌握用定积分计算几何量和物理量的方法；理解二重和三重积分的概念和性质，掌握二重和三重积分的计算方法；掌握曲线积分和曲面积分概念及计算；掌握反常积分收敛性的讨论和判别方法。
四、级数
内容：
数项级数、数项级数的判别法；级数的绝对收敛和条件收敛；函数项级数的收敛和一致收敛及其性质、收敛性的判别；幂级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开。
要求：
理解级数收敛、发散、一致收敛的概念；掌握级数收敛的判别方法（绝对收敛、条件收敛、一致收敛）；掌握幂级数收敛半径和收敛区间的判别方法，并能利用幂级数的性质求和函数；掌握基本初等函数的泰勒展开。
第一部分 线性代数
考试题型：判断说明理由、简答、计算和证明
参考书目：《线性代数》孙兰芬，陈一中，浙江大学出版社
总分：45分
一、行列式
内容：
行列式的定义和性质；Cramer法则；子式与代数余子式；按一行（列）展开定理；Laplace定理。
要求：
掌握行列式的概念和性质，熟练应用行列式的性质计算行列式，并会用行列式求解线性方程组。
二、矩阵
内容：
矩阵的概念和运算；常用的特殊矩阵；矩阵的初等变换与初等矩阵；可逆矩阵以及性质；矩阵的秩等概念。
要求：
掌握矩阵和秩的概念；能熟练地进行矩阵的各种运算（加、减、数乘、乘、求逆、分块矩阵运算等）；会求逆阵和矩阵的秩。
三、线性方程组
内容：
n元向量的线性关系；线性方程组的解和解的结构。
要求：
掌握向量的线性关系（组合与等价、线性相关与线性无关、极大线性无关组）等概念，能熟练应用矩阵来求解或讨论线性方程组的解。
四、线性空间与欧氏空间
内容：
线性空间的概念（定义和性质）；基、维数和坐标；欧氏空间的定义及其基本性质；子空间的交、和、直和及正交。
要求：
掌握线性空间、基和维数、子空间的概念；理解线性空间的基和坐标的关系，基变换和坐标变换的关系；掌握内积空间特别是欧氏空间的概念，掌握正交基和Schmidt 方法。
五、线性变换
内容：
线性变换的定义、性质及运算；线性变换的矩阵及在不同基下的矩阵间的关系；特征值与特征向量；矩阵的对角化；对称变换和正交变换。
要求：
掌握线性变换，特征值和特征向量的概念；掌握线性变换和矩阵的相互关系；掌握正交变换和对称变换；掌握凯莱—哈米尔顿定理；能熟练地求特征值和特征向量。
六、二次型
内容：
二次型的基本概念：惯性定理；正定二次型。
要求：
掌握二次型和矩阵的关系，学会用矩阵方法来处理二次型的问题；掌握惯性定理和正定二次型。
第一部分 数学分析
考试题型：判断说明理由、简答、计算和证明
参考书目：《数学分析》欧阳光中等，上海科技出版社
或《数学分析》陈纪修，金路等，高等教育出版社
总分：105分
一、极限与连续
内容：
映射与函数；数列的极限、函数的极限；实数系的连续性、 连续函数、一致连续；Rn中的点集、多元函数的极限与连续；函数和连续函数的各种性质。
要求：
理解集合、映射、函数、极限、连续、一致连续等概念；理解极限和连续的有关性质和定理；掌握求数列和函数极限的各种方法；掌握连续性、间断性的判别方法。
二、微分与导数
内容：
微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；全微分和偏导数的概念；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒公式；最值和极值。
要求：
理解微分和导数的概念、关系、几何意义和性质；掌握求微分和导数（一阶和高阶，一元和多元，隐函数，复合函数）的各种方法；理解和应用微分中值定理；掌握各种最值和极值的求法（一元和多元，条件极值）；判断函数的凹凸性；求空间曲面的切平面和空间曲线的切线。
三、一元和多元函数的积分
内容：
定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；重积分的概念及其性质、重积分的计算；曲线积分和曲面积分；反常积分的定义和判别。
要求：
理解定积分的概念、性质、意义和微积分基本定理，理解黎曼积分概念，并能灵活应用；掌握不定积分和定积分的各种计算方法（换元法、分部积分、有理函数积分）；掌握用定积分计算几何量和物理量的方法；理解二重和三重积分的概念和性质，掌握二重和三重积分的计算方法；掌握曲线积分和曲面积分概念及计算；掌握反常积分收敛性的讨论和判别方法。
四、级数
内容：
数项级数、数项级数的判别法；级数的绝对收敛和条件收敛；函数项级数的收敛和一致收敛及其性质、收敛性的判别；幂级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开。
要求：
理解级数收敛、发散、一致收敛的概念；掌握级数收敛的判别方法（绝对收敛、条件收敛、一致收敛）；掌握幂级数收敛半径和收敛区间的判别方法，并能利用幂级数的性质求和函数；掌握基本初等函数的泰勒展开。
第一部分 线性代数
考试题型：判断说明理由、简答、计算和证明
参考书目：《线性代数》孙兰芬，陈一中，浙江大学出版社
总分：45分
一、行列式
内容：
行列式的定义和性质；Cramer法则；子式与代数余子式；按一行（列）展开定理；Laplace定理。
要求：
掌握行列式的概念和性质，熟练应用行列式的性质计算行列式，并会用行列式求解线性方程组。
二、矩阵
内容：
矩阵的概念和运算；常用的特殊矩阵；矩阵的初等变换与初等矩阵；可逆矩阵以及性质；矩阵的秩等概念。
要求：
掌握矩阵和秩的概念；能熟练地进行矩阵的各种运算（加、减、数乘、乘、求逆、分块矩阵运算等）；会求逆阵和矩阵的秩。
三、线性方程组
内容：
n元向量的线性关系；线性方程组的解和解的结构。
要求：
掌握向量的线性关系（组合与等价、线性相关与线性无关、极大线性无关组）等概念，能熟练应用矩阵来求解或讨论线性方程组的解。
四、线性空间与欧氏空间
内容：
线性空间的概念（定义和性质）；基、维数和坐标；欧氏空间的定义及其基本性质；子空间的交、和、直和及正交。
要求：
掌握线性空间、基和维数、子空间的概念；理解线性空间的基和坐标的关系，基变换和坐标变换的关系；掌握内积空间特别是欧氏空间的概念，掌握正交基和Schmidt 方法。
五、线性变换
内容：
线性变换的定义、性质及运算；线性变换的矩阵及在不同基下的矩阵间的关系；特征值与特征向量；矩阵的对角化；对称变换和正交变换。
要求：
掌握线性变换，特征值和特征向量的概念；掌握线性变换和矩阵的相互关系；掌握正交变换和对称变换；掌握凯莱—哈米尔顿定理；能熟练地求特征值和特征向量。
六、二次型
内容：
二次型的基本概念：惯性定理；正定二次型。
要求：
掌握二次型和矩阵的关系，学会用矩阵方法来处理二次型的问题；掌握惯性定理和正定二次型。