燕山大学2005年研究生入学考试---数值分析复习大纲
1、 绪论
2、 插值法
Lagrange插值：插值多项式的存在唯一性，Lagrange插值，插值余项。
逐次线性插值：Aitken逐次插值公式和Nevile 算法。
均差与Newton插值公式：均差的定义及其性质，Newton 插值公式及其余项。
差分与等矩节点插值公式：差分的定义及其性质，Newton前插公式， Newton后插公式
Hermite插值：函数值与导数值个数相等的情况下的插值多项式及插值余项。
分段低次插值：分段线性插值，分段三次Hermite 插值。
三次样条插值：三次样条函数，三转角方程，三弯矩方程，三次样条插值的收敛性 。
3、数值积分与数值微分
数值求积的基本思想：代数精度的概念，插值型的求积公式。
Newton -Cotes公式：Cotes系数，偶数阶求积公式的代数精度，几种降低求积公式的余项，复化求积法及其收敛性。
Romberg算法：梯形法的递推化，Romberg公式
Gauss公式：Gauss点，正交多项式，Grass-Legendre公式，Gauss公式的余项，Gauss公式的稳定性，带权的Gauss公式
4、常微分方程数值解法
Euler方法：Euler公式，后退的Euler公式，梯形公式，改进的Euler公式，Euler两步公式。
Runge-Kutta方法：Taylor级数法，Runge-Kutta方法的基本思想，二阶Runge-Kutta方法，三阶Runge-Kutta方法，四阶Runge-rutta方法，变步长的Runge-Kutta方法。
线性多步法：基于数值积分的构造方法，Adams显示公式，Adams隐式公式，Adams预测-校正系统，基于Taylor展开的构造方法，Milne公式，Hamming公式。
边值问题的数值解法：试射法，差分方程的建立，差分问题的可解性，差分方法的收敛性。
5、方程求根
根的搜索：逐步搜索法，二分法。
迭代法：迭代过程的收敛性，迭代公式的加工。
Newton法：Newton公式，Newtonn法的几何解释，Newton法的局部收敛性，Newton法应用举例，Newton下山法。
弦截法与抛物线法：弦截法，抛物线法。
代数方程求根：多项式求值的秦九韶算法，代数方程的NEWTON法，劈因子法。
Grass消元法：Grass消元法，矩阵的三角分解，计算量
Grass主元素消去法：完全主元素消去法，列主元素消去法，Gauss-Jorden消去法。
Gauss消去法的变形：直接三角分解法，平方根法，追赶法。
向量和矩阵的范数：向量和矩阵的范数的定义及其性质。
误差分析：矩阵的条件数，舍入误差。
七、解线性方程组的迭代法
Jacobi迭代法与 Gauss-Seidel迭代法： Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法。
迭代法的收敛性：迭代收敛的基本定理，不可约对角优势阵和严格对角优
势阵的迭代收敛。
解线性方程组的超松驰迭代法；超松驰迭代法的分量和矩阵表示形式，迭
代法的收敛性。
八、矩阵的特征值与特征向量计算
幂法及反幂法：幂法加速方法，反幂法。
Jacobi方法： Jacobi方法， Jacobi过关法。
豪斯荷尔德方法：上 Messenber矩阵，初等反射阵，用正交相似变换约化
矩阵。
QR幂法： QR算法，带原定位移的 QR方法。
课程主要参考书：
1、 K．E·阿特金森著，匡蚊勋、王国荣等译《数值分析引论》上海科学技术
出版社1986年。
2、杨风翔等编，《数值分析》天津大学出版杜。
3、邓建中编《计算方法》，西安交通大学出版杜。
1、 绪论
2、 插值法
Lagrange插值：插值多项式的存在唯一性，Lagrange插值，插值余项。
逐次线性插值：Aitken逐次插值公式和Nevile 算法。
均差与Newton插值公式：均差的定义及其性质，Newton 插值公式及其余项。
差分与等矩节点插值公式：差分的定义及其性质，Newton前插公式， Newton后插公式
Hermite插值：函数值与导数值个数相等的情况下的插值多项式及插值余项。
分段低次插值：分段线性插值，分段三次Hermite 插值。
三次样条插值：三次样条函数，三转角方程，三弯矩方程，三次样条插值的收敛性 。
3、数值积分与数值微分
数值求积的基本思想：代数精度的概念，插值型的求积公式。
Newton -Cotes公式：Cotes系数，偶数阶求积公式的代数精度，几种降低求积公式的余项，复化求积法及其收敛性。
Romberg算法：梯形法的递推化，Romberg公式
Gauss公式：Gauss点，正交多项式，Grass-Legendre公式，Gauss公式的余项，Gauss公式的稳定性，带权的Gauss公式
4、常微分方程数值解法
Euler方法：Euler公式，后退的Euler公式，梯形公式，改进的Euler公式，Euler两步公式。
Runge-Kutta方法：Taylor级数法，Runge-Kutta方法的基本思想，二阶Runge-Kutta方法，三阶Runge-Kutta方法，四阶Runge-rutta方法，变步长的Runge-Kutta方法。
线性多步法：基于数值积分的构造方法，Adams显示公式，Adams隐式公式，Adams预测-校正系统，基于Taylor展开的构造方法，Milne公式，Hamming公式。
边值问题的数值解法：试射法，差分方程的建立，差分问题的可解性，差分方法的收敛性。
5、方程求根
根的搜索：逐步搜索法，二分法。
迭代法：迭代过程的收敛性，迭代公式的加工。
Newton法：Newton公式，Newtonn法的几何解释，Newton法的局部收敛性，Newton法应用举例，Newton下山法。
弦截法与抛物线法：弦截法，抛物线法。
代数方程求根：多项式求值的秦九韶算法，代数方程的NEWTON法，劈因子法。
Grass消元法：Grass消元法，矩阵的三角分解，计算量
Grass主元素消去法：完全主元素消去法，列主元素消去法，Gauss-Jorden消去法。
Gauss消去法的变形：直接三角分解法，平方根法，追赶法。
向量和矩阵的范数：向量和矩阵的范数的定义及其性质。
误差分析：矩阵的条件数，舍入误差。
七、解线性方程组的迭代法
Jacobi迭代法与 Gauss-Seidel迭代法： Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法。
迭代法的收敛性：迭代收敛的基本定理，不可约对角优势阵和严格对角优
势阵的迭代收敛。
解线性方程组的超松驰迭代法；超松驰迭代法的分量和矩阵表示形式，迭
代法的收敛性。
八、矩阵的特征值与特征向量计算
幂法及反幂法：幂法加速方法，反幂法。
Jacobi方法： Jacobi方法， Jacobi过关法。
豪斯荷尔德方法：上 Messenber矩阵，初等反射阵，用正交相似变换约化
矩阵。
QR幂法： QR算法，带原定位移的 QR方法。
课程主要参考书：
1、 K．E·阿特金森著，匡蚊勋、王国荣等译《数值分析引论》上海科学技术
出版社1986年。
2、杨风翔等编，《数值分析》天津大学出版杜。
3、邓建中编《计算方法》，西安交通大学出版杜。