《复变函数》考研复习大纲
一、 参考书目
1、《复变函数论》张锦豪、邱维元编，高等教育出版社，2001
2、《复变函数学习指导论》钟玉泉编 高等教育出版社， 1988 第二版
3、《复变函数》上海交通大学数学系主编，上海交通大学出版社，1988。
二、 复习大纲
1、 理解复数的概念；熟悉复数的多种表示法、复数的四则运算及开方运算；理解复数运算的几何意义；理解区域、单连通域、多连通域和复球面等概念；掌握用复变数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。重点是：复数的运算以及用复数方程表示曲线，用不等式表示区域。
2、理解复变函数以及映射的概念；了解一个复变函数等价于一对实二元函数；理解函数解析的概念与柯西－黎曼条件；掌握判别函数解析性的方法；了解解析函数与调和函数的关系，并掌握由已知的调和函数求其共轭调和函数，从而得到解析函数的方法；记住复自变量的初等函数的定义以及它们的一些主要性质。重点是：函数解析性的判断，掌握和运用柯西－黎曼条件，能从已知的调和函数求其共轭调和函数。
3、理解复变函数积分的概念并掌握它的基本性质；掌握复变函数积分的一般计算方法；掌握柯西定理及其推论；熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分；了解莫累拉定理。重点是：柯西定理，柯西积分公式及高阶导数公式的用法。
4、了解复数项级数的敛散性及有关概念、主要性质及重要定理；了解幂级数收敛的阿贝尔定理以及幂级数的收敛圆、收敛半径等概念，掌握幂级数收敛半径的求法以及幂级数在收敛圆内的性质；记住几个主要的初等函数的泰勒展开式，能熟练地把一些比较简单的初等函数展开成泰勒级数；理解罗朗级数的作用，并能把比较简单的函数在不同环域内展开成罗朗级数；理解孤立奇点的概念、分类及判别方法。重点是：函数展开成泰勒级数；在不同环域内将函数展开成罗朗级数；孤立奇点类型的判别。
5、理解函数在孤立奇点留数的概念；掌握并能熟练应用留数定理；掌握留数的计算，尤其要熟悉较低阶极点处留数的计算；能用留数来计算3种标准类型的定积分。重点是：留数的计算及应用留数计算定积分。
6、理解导数的辐角和模的几何意义以及保角映射的概念；知道有关保角映射的几个重要定理；掌握分式线性映射的重要性质：保角性、保圆性、保对称性和保交比性；掌握确定半平面到半平面、半平面到单位圆、单位圆到单位圆的分式线性映射；对于适当的区域能求得由分式线性函数、幂函数、指数函数、对数函数或其复合函数构成的映射。重点是：保角映射的概念和分式线性映射。
《复变函数》考试大纲
第一章、 复数与复变函数
1、 复数及其代数运算： 复数的概念、复数的代数运算；
2、 复数的几何表示： 复平面、复球面、扩充复平面、复数的平面表示、复数的球面表示、直线和圆的方程；
3、 复数的乘幂与方根： 乘积与商、幂与根；
4、 邻域和开集： 区域的概念、单连域与多连域、复平面上的邻域与开集、序列与极限、扩充复平面上的邻域与开集；
5、 复变函数： 复变函数的定义、映射的概念；
6、 复变函数的极限与连续： 函数的极限、函数的连续性；
7、 平面曲线：曲线的表示、连通集、连续的辐角函数
第二章、 解析函数
1、 解析函数的概念： 复变函数的导数、解析函数的概念；
2、 函数的微分：实坐标下函数的微分、复坐标下函数的微分；
3、 全纯函数的定义：Cauchy-Riemann 条件、一些初步讨论、反函数的存在性、保角性质；
4、 函数解析的充要条件；
5、 解析函数与调和函数的关系；
6、 初等函数：指数函数、对数函数、乘幂 与幂函数、三角函数和双曲函数、反三角函数与反双曲函数；
7、 分式线性变换：分式线性函数、对称、交比；
第三章、 复积分
1、 复变函数积分的概念：积分的定义、积分存在的条件及其计算法、性质；
2、 积分的基本性质：区间上的复积分、光滑曲线上的积分、复坐标下的面积元、Green 公式的复形式；
3、 多值函数的单值支：绕数的积分表示、单连通区域、对数函数的单值支、一般幂函数的单值支；
4、 柯西－古萨基本定理；
5、 柯西－古萨基本基本定理的推广－复合闭路定理；
6、 柯西积分公式；
7、 解析函数的高阶导数
第四章、 级数
1、 复数项级数：复数项级数的敛散性及有关概念、主要性质及重要定理；
2、 幂级数收敛的阿贝尔定理；
3、 幂级数：幂级数概念、收敛圆与收敛半径、收敛半径的求法、幂级数的运算和性质；
4、 几个主要的初等函数的泰勒展开式；
5、 泰勒级数、罗伦级数，并理解罗朗级数的作用，能把比较简单的函数在不同环域内展开成罗朗级数；
6、 孤立奇点的概念、分类及判别方法
第五章、 留数
1、 孤立奇点：可去奇点、极点、本性奇点、函数的零点与极点的关系，以及函数在孤立奇点留数的概念；
2、 留数：留数的定义及留数定理、留数的计算规则，尤其要熟悉较低阶极点处留数的计算；
3、 留数在定积分计算上的应用，能用留数来计算3种标准类型的定积分
第六章、 共形映射
1、 导数的辐角和模的几何意义以及保角映射的概念；
2、 有关保角映射的几个重要定理；
3、 分式线性映射的重要性质：保角性、保圆性、保对称性和保交比性；
4、 半平面到半平面、半平面到单位圆、单位圆到单位圆的分式线性映射；
5、 对于适当的区域能求得由分式线性函数、幂函数、指数函数、对数函数或其复合函数构成的映射