科目: 线性代数与解析几何
注: < >表示下标, 上下连续的(或{表示同一个大(或{.
一、填空(每空4分, 共48分)
设R^3中向量
(-1 ) ( 1 ) ( 1 )
α<1>＝ ( 1 ), α<2>＝ (-1 ), α<3>＝ ( 0 )
( 1 ) ( 0 ) (-1 )
(-4 ) ( 4 ) ( 4 )
β<1>＝ ( 3 ), β<2>＝ (-3 ), β<3>＝ ( 1 )
( 4 ) ( 0 ) (-4 )
(1) β<1>在基{α<1>,α<2>,α<3>}和基{β<1>,β<2>,β<3>}下的坐标分别是____
__和______.
(2) 从基{α<1>,α<2>,α<3>}到基{β<1>,β<2>,β<3>}的过渡矩阵是______.
又设R^3的线性变换A使得Aα<1>＝β<1>, Aα<2>＝β<2>, Aα<3>＝β<3>, 则
(3) A在基{α<1>,α<2>,α<3>},{β<1>,β<2>,β<3>}和标准基
{( 1 ) ( 0 ) ( 0 )}
{( 0 ),( 1 ),( 0 )} 下的矩阵分别是______,______和______.
{( 0 ) ( 0 ) ( 1 )}
(4) A的特征多项式是______,最小多项式是______,特征值是______.
(5) A的不变因子是______,初等因子是______,若当标准型是______.
二、(12分)
求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的平面的方程, 以及过这三点的圆的方程.
三、(12分)
设A是数域F上的n维线性空间V的线性变换.
∞ ∞
记V<1>=∪Ker A^i, V<2>=∩Im A^i.
i=0 i=0
证明:
(1) V<1>和V<2>是A的不变子空间;
(2) V＝V<1> ＋ V<2>.
四、(14分) n _ _
设实二次型Q(x)＝∑(x<i>-x)^2, 其中x＝(1/n)(x<1>+x<2>+...+x<n>).
i=0
试求Q(x)的秩和正负惯性指数.
五、(14分)
设A是从m维欧几里德空间E<m>到n维欧几里德空间E<n>的线性映射.
试怔: 存在E<m>和E<n>的标准正交基, 使得A在它们下的矩阵形如
( D 0)
( 0 0), 其中D是一个对角形方阵