注:用< >表示下标 { }表示上标
1. (15分)
定义函数
┌(x^3)/(x^2+y^2), x^2+y^2＞0
f(x,y)＝│
└0, x＝y＝0
证明f在(0,0)处连续但不可微.
2. (20分)
设f<n>(x)＝(x^n)log(x), n是自然数
(i) 证明:
(f<n>{(n)}(x))/(n!)＝(f<n-1>{(n-1)}(x))/((n-1)!)+(1/n),
n=1,2,...
(ii)计算极限
lim (f<n>{(n)}(1/n))/(n!)
n→∞
3. (15分)
在R^3中,由下列平面
y＝1, y＝-x, x＝0, z＝0, z＝-x
围成的闭域记为D, 计算积分
I＝∫∫∫ exp(x+y+z)dxdydz
D
4. (15分)
定义向量场
→
Ｆ(x,y)＝( (x(exp((x^2+y^2)^(1/2))))/((x^2+y^2)^(1/2)),
(y(exp((x^2+y^2)^(1/2))))/((x^2+y^2)^(1/2)) ),
x^2+y^2>0.
证明: → →
Ｆ是有势场，并求出Ｆ的一个势函数.
5. (25分) ∞
设f(x)=∑1/(x+2^n), x∈[0,+∞).
n=0
证明:
(i) f在[0,+∞)上连续;
(ii) lim f(x)＝0;
x→+∞
(iii) 对一切x∈[0,+∞)有
0＜f(x)-(log(1+x))/(xlog2)＜1/(1+x).
6. (10分)
设f在[-a,a]上有连续的导数, 证明:
a a
lim ∫(1-cosλx)(1/x)f(x)dx＝∫(f(x)-f(-x))(1/x)dx.
λ→∞ -a 0