吉林大学数学学院432统计学[专业硕士]历年考研真题及详解

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2012年吉林大学432统计学[专业硕士]考研真题
2012年吉林大学432统计学[专业硕士]考研真题及详解
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2015年吉林大学432统计学[专业硕士]考研真题
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内容简介 本书收录了吉林大学数学学院“432统计学[专业硕士]”2012~2013、2015年的考研真题,并提供答案及详解。本书历年真题的答案及详解由本校高分考生根据本科目考研的参考教材和相关教师的授课讲义等精心编写而成,解题思路清晰、答案翔实,突出难度分析,对常考知识点进行了归纳整理。
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2012年吉林大学432统计学[专业硕士]考研真题



2012年吉林大学432统计学[专业硕士]考研真题及详解

一、(25分)一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成,在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了使整个系统起作用,至少必须有85个部件正常工作,求整个系统起作用的概率。(Ф(1.67))=0.9225;Ф(0.6)=0.7257;Ф(0.33)=0.6293)
解:由题意可知每个部件正常工作的概率为0.9,总样本数n=100,用X表示正常工作的部件的数量,X~B(100,0.9),则整个系统起作用的概率为P(X≥85)。np=90>5且n(1-p)=9>5,根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可知,

所以整个系统起作用的概率为:

二、(25分)
1由统计物理学知,分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦(Maxwell)分布,其概率密度为

其中b=m/(2kT),k为Boltzmann常数,T为绝对温度,m是分子的质量,试确定常数A。
解:根据概率密度函数的性质可得:

解得

又b=m/(2kT),故


2研究了英格兰在1875年~1951年期间,在矿山上发生导致10人或10人以上死亡的事故的频繁程度,得知相继两次事故之间的T(以日计)服从指数分布,其概率密度为:

求分布函数FT(t),并求概率P{50<T<100}。
解:当t>0时

当t≤0时,FT(t)=0。
所以分布函数为



三、(25分)设某电子器件的寿命(以小时计)T服从双参数的指数分布,其概率密度为

其中c,θ(c,θ≥0)为未知参数。自一批这种器件中随机抽取n件进行寿命试验,设它们的失效时间依次为x1≤x2≤……≤xn
(1)求θ与c的最大似然估计;
(2)求θ与c的矩估计。
解:(1)似然函数为


两边求对数得到对数似然函数为:

因为lnL(θ,c)关于c单调递增,且当x1>c时L>0,当x1<c时L=0,所以c()L=x1是唯一使L达到最大的c值,即c的MLE。将lnL(θ,c)对θ求偏导并令其等于0,得到-nθ+nx(_)-nc=0,由于似然函数是指数族的形式,且θ()L的属于自然参数空间Θ*={θ:θ≥0}=[0,∞)的内点集,故θ的极大似然估计为θ()Lx(_)-x1
(2)


因为DT=ET2-(ET)2=θ2,所以θ和c的矩估计为:



四、(25分)设从均值为μ,方差为σ2>0的总体中,分别抽取容量为η1,η2的两个独立样本,X(_)1X(_)2分别是两样本的均值。试证:对任意常数a,b(a+b=1),Y=aX(_)1+bX(_)2都是μ的无偏估计并确定常数a,b使Y的方差Var(Y)达到最小。
解:由题意可知,

同理E(X(_)2)=μ,所以有:
E(Y)=E(aX(_)1+bX(_)2)=aE(X(_)1)+bE(X(_)2)=aμ+bμ=(a+b)μ=μ
因此,对任意常数a,b(a+b=1),Y=aX(_)1+bX(_)2都是μ的无偏估计。
因为两样本相互独立,所以:

当a=n1/(n1+n2),b=n2/(n1+n2)时,Var(Y)达到最小值。

五、(25分)随机地选8个人,分别测量了他们在早晨起床时和晚上就寝时的身高(cm),得到如下数据。

设各对数据的差Di=Xi-Yi(i=1,2,……,8)是来自正态总体(μD,σD2)的样本,μD,σD2均未知,问是否可以认为早晨的身高要比晚上的身高要高?(取α=0.05,t0.05(7)=1.8946)
解:整理数据得到下表:

第一步:提出假设:H0:μD≤0;H0:μD>0
第二步:计算D的均值和方差:D(_)=(0+1+3+2+1+2-1+2)/8=1.25

第三步:构造检验统计量

第四步:当原假设成立时,根据样本数据计算检验统计量的值为T=2.76;
第五步:做出决策:当α=0.05时,t0.05=1.8946,因为T=2.76>1.8946,所以拒绝原假设,认为早晨的身高比晚上的身高要高。
六、(25分)假设回归直线过原点,即一元线性回归模型为
yi=βxi+εi,i=1,…,n
E(εi)=0,Var(εi)=σ2,诸观测者相互独立。
(1)写出β,σ2的最小二乘估计;
(2)对给定的x0,其对应的因变量均值的估计为y()0,求Var(y()0)。
解:(1)根据最小二乘法,使∑(yiy()i2=∑(yiβ()xi2最小。令Q=∑(yiy()i2根据微积分的极值定理,对Q求相应于β的偏导数,并令其等于0,便可求出β(),即

由于随机项εi不可观测,只能从εi的估计——残差ei出发,对总体方差σ2进行估计。可证σ2的OLS为

(2)对给定的x0,其对应的因变量均值的估计为y()0y()0的方差为:

用最小二乘法计算得到




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