中国科学院数学与系统科学研究院2001年硕士研究生入学试题

考试科目：数学分析 考试代码： 331

注:用< >表示下标

一. (16分)
(1)已知: c 求:
lim(1+x)^(c/x)＝∫ t(c^t)dt, c.
x→0 -∞

(2)设x＞0且x≠1,
则有:
(ln x)/(x-1)＜x^(-1/2)

二. (12分)
证明f(x)＝1/x在[a,+∞) (其中a>0) 上一致连续,
g(x)=sin(1/x)在(0,1)上不一致连续.

三. (12分)
求曲面(x^2+y^2+z^2)^3＝(a^3)xyz (a＞0) 所围成的立体的体积.

四. (12分)
设a<1>和b<1>是任意两个正数, 并且a<1>≤b<1>, 还设
a<n>＝(2a<n-1>b<n-1>)/(a<n-1>+b<n-1>),
b<n>＝(a<n-1>b<n-1>)^(1/2), (n=2,3,...)
求证:
序列a<1>,a<2>,...和b<1>,b<2>,...均收敛，并且具有相同的极限.

五. (12分)
设V是由椭圆面(x^2/a^2)+(y^2/b^2)+(z^2/c^2)＝1的切平面和三个坐标平面
所围成的区域的体积，求V的最小值.

六. (12分) ∞
设f为连续实值函数, 并且对所有x, 有f(x)≥0, 还设∫f(x)dx＜∞
0
求证: n
(1/n)∫xf(x)dx→∞ (n→∞)
0

七. (12分) b b
如果广义积分∫|f(x)|dx (其中a是瑕点)收敛, 那么∫f(x)dx收敛,
a a
并举例说明此命题的逆不成立.

八. (12分)
设f是(0,∞)上有界连续函数, 并设r<1>,r<2>,...是任意给定的无穷正实数列,
试证存在无穷正实数列x<1>,x<2>,...,
使得:
lim(f(x<n>+r<n>)-f(x<n>))＝0
n→∞