科目: 线性代数

注: < >表示下标, 上下连续的(或{表示同一个大(或{.

1.(10分)
设平面pi:Ax+By+Cz+D=0与连接两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)的线段相交于点M,
→ →
且M1M=kMM2.证明:k=-(Ax1+By1+Cz1+D)/(Ax2+By2+Cz2+D)

2.(10分)
(1)计算(1/2 -sqrt(3)/2) ^1998
(sqrt(3)/2 1/2 )
(2)在平面直角坐标系中,(x) (1/2 -sqrt(3)/2)(x) 表示平面上的点怎样的

(y) → (qrt(3)/2 1/2 )(y)
变换?

3.(16分)
n>=2,n阶方阵A=(a<i,j>)的主对角元a<i,i>=0(i=1,2,...,n),其余元素a<i,j>=1.求
detA及A^(-1)

4.(14分)
求证:与任意n阶方阵可交换的方阵一定是纯量阵.

5.(24分)
设F<n>[x]是数域F上次数<n的全体多项式构成的线性空间.F<n>[x]上线性变换D将每个

多项式f(x)映到其导数f'(x).
(1)求D的特征多项式和最小多项式.
(2)找出F<n>[x]的一组基,使D在这组基下的矩阵是若当标准形.
n-1
(3)设I是F<n>[x]上的单位变换,A=I+∑ D^k/k!.求证:A是F<n>[x]上的可逆变换,并求出

k=1
A的逆.

6.(12分)
设A是复数域上n维线性空间V上的线性变换,具有n个不同的特征值t<1>,...,t<n>,而
α<1>,...,α<n>分别是属于这些特征值的特征向量.求证:α<1>+...+α<n>生成的
循环子空间等于V.

7.(14分) m*n
设 V=R 是实数域上全体m*n实矩阵组成的向量空间,S是正定的n阶实对称方阵.对任意

X,Y属于V,定义(X,Y)=Tr(XSY').证明:(X,Y)是V上的欧几里德内积