中国科学技术大学1993年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
试题名称 数学分析

注用 ^表示下标 { }表示上标

1. (10分)试求极限
lim ((x-a1)(x-a2)...(x-an)^(1n)-x)
x→+∞

2.(15分) +∞
设f(x)=∫ e^(-xt^2)(1+t^2)dt ,x为非负数.
0
试证(1)f(x)在(0,+∞)上一致收敛且可微;
+∞
(2)f(x)-f'(x)=1x^(12)∫ e^(-u^2)du
0
3 (10分) +∞
试证lim ∑x^n(1-x)(n(1-x^2n))=pi^212
x→1 n=1

4 (10分)
计算二重积分∫∫dxdy,其中D为曲线y^2=16-8x,y^2=1-2x,y^2=81+18x,y^2=1+2x所围
成
D
在y0的那部分区域.

5 (15) 1
设Ia=∫(1-x^a)^(-1a)dx.
0
(1)试确定使得积分Ia收敛的a的取值范围;
(2)试证Ia=pi(asin(pia))

6 (20分)
设f(x)为[0,1]上的正的连续函数,
1 1
试证1=∫1f(x)dx∫f(x)dx =(M+m)^2(4Mm),其中M和m分别为f(x)在[0,1]上的
0 0
最大值和最小值.

7 (10分)
若函数f(x)在(-∞,+∞)上有三阶连续导数,且lim f(x)和lim f'''(x)存在且有限,
x→∞ x→∞
试证lim f'(x)=lim f''(x)=lim f'''(x)=0
x→∞ x→∞ x→∞

8 (10分) x
若函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且定义g(x)=f(x)∫f(t)dt为(-∞,+∞)上的减函数.
0
试证f(x)=0