中国科学院--中国科学技术大学1996年招收攻读硕士学位研究生入学数学分析

注:用< >表示下标 { }表示上标 z...x表示z关于x的偏导数

1.(15分)
求极限L=Lim (e^(e^x-1)-e^x-1/2*(sinx)^2)/(x-sinx)
x→0

2.(15分)
设f(x)在[0,1]上有连续的一阶导函数,M是|f(x)|在[0,1]上的最大值,求证:
1 1
∫ |f(x)|dx+∫|f'(x)|dx>=M
0 0
3.(15分) ∞
计算定积分I=∫e^(-x^2)/(x^2+1/2)^2 dx
0

4.(15分)
设z=z(x,y)是由方程F(x+z/y,y+z/x)=0所确定的隐函数,求证:x*z...x+y*z...y=z-xy

5.(10分)
计算曲线积分I=∫ydx+zdy+xdz,其中T是平面x+y=2和曲面x^2+y^2+z^2=2x+2y的交线,当

T
观察者由原点看去时,T有顺时针方向.

6.(10分)
计算曲面积分I=∫∫cosxdy^dz+cosydz^dx+coszdx^dy,其中∑是曲面z^2=x^2+y^2,
∑
0<=z<=1,其法向量与oz轴正方向交成钝角.

7.(10分) pi pi
设f(x)在[-pi,pi]上有连续的一阶导函数,f(pi)=f(-pi),∫ (f'(x))^2dx>=∫ f(x)^2d
x
-pi -pi
等式当且仅当f(x)=Acosx+Bsinx时成立.

8.(10分)
设a>=1,定义a<1>=1,a<n+1>=n/(n+a)*a<n> (n=1,2,3,...).求证:{n^a*a<n>}为收敛数列