科目: 线性代数

注: < >表示下标, 上下连续的(或{表示同一个大(或{.

1.(10分)
求线性方程组
┌2x1+7x2+3x3++x4=5
│x1+3x2+5x3+2x4=3
│x1+5x2-9x3+8x4=1
└5x1+18x2+4x3+5x4=12 的通解.

2.(25分)
(1)设n阶矩阵A=( I<k> A<1,2> ),其中I<k>是k阶单位矩阵,A<2,2>是n-k阶矩阵.
( A<2,1> A<2,2> )

证明:k<=rank(A)<=n,其中rank(A)是A的秩.并证明,rank(A)=k的充要条件是
A<2,2>=A<2,1>A<1,2>
(2)设A是n阶可逆矩阵,α和β分别是n维列向量.证明:n-1<=rank(A-αβ')<=n,并且
rank(A-αβ')=n-1的充要条件是β'A^(-1)α=1,这里β'表示β的转置.

3.(25分) (2 -1 0 0 0)
(-1 2 -1 0 0)
设5阶矩阵 A=(0 -1 2 -1 0)
(0 0 -1 2 -1)
(0 0 0 -1 2)
(1)计算A的行列式detA;
(2)求A的逆矩阵A^(-1);
(3)求A的Jordan标准形;
(4)求对称矩阵A的正、负惯性指数;
(5)将阶数5改为n,求n阶方阵A行列式和逆矩阵

4.(10分)
给定直角坐标平面xoy上的二次曲线T,其方程为A*x^2+B*y^2+C*z^2+Dx+Ey+F=0
证明:当B^2-4AC不为零时,曲线T的方程可经坐标旋转变换和平移变换化简为
t<1>*x<1>^2+t<2>*y<2>^2=4K/(B^2-4AC),其中t<1>和t<2>是方程t^2-(A+C)t+
(4AC-B^2)/4=0的根,而K=det(A 1/2*B 1/2*D)
(1/2*B C 1/2*E)
(1/2*D 1/2*E F )

5.(20分)
设R^n是所有n维行向量组成的n维欧氏空间,其中向量α=(x1,x2,...,xn)和β=
(y1,y2,...,yn)的内积为(α,β)=x1*y1+x2*y2+...+xn*yn.R^n中所有下标i为偶数的

x<i>之和为零的向量α之集合记亻V
(1)证明:V是R^n的子空间;
(2)求维数dimV,并给出V的一组标准正交基;
(3)确定V的正交补.

6.(10分)
设A是n维欧氏空间V的线性变换,称A是对称的,如果对任意α,β属于V,(A(α),β)=
(α,A(β)),称对称线性变换A是非负的,如果对任意α属于V,(α,A(α))>=0.
证明:对称线性变换A非负的充要条件是,A的特征值全是非负实数