招生专业与代码：网络空间安全（0839）
考试科目名称及代码：抽象代数845（A卷）
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）。
1.设是两个有限集合，则到的映射有______个。
2.在5次对称群中,(134)(135)=。
3.8阶循环群的生成元有个。
4.设是35阶循环群，写出的非平凡子群_______________________。
5.在多项式环中，__________。
二、判断题（在题后的括号内正确的画“√”，错误的画“×”，填错或未填者，该小题无分。共5小题，每小题4分，共20分）。
1.非交换群的阶至少为6。()
2.每个群必存在非平凡的子群。()
3.整数环的自同构只有恒等自同构。()
4.域的有限可分扩张必为单扩张。()
5.对于任何正整数，含有个元素的有限域都存在。()
三、问答题（共2小题，每小题15分，共30分）。
1．(15分)分别写出群、环和域的定义，并各举一个例子。
2．(15分)构造一个4元域，并指出它的加法和乘法运算规则。
四、证明题（共2小题，每小题15分，共30分）。
1.(15分)设是正整数，证明：满足方程的复数的集合在通常乘法下是一个阶循环群。
2.(15分)决定环的单位群，并证明此环为整环但不是域。
五、计算题（共3小题，第1、2小题15分，第3小题20分，共50分）。
1．(15分)设，运用广义欧几里德除法求整数使得。
2.(15分)设是有理数域上多项式的一个实根。
(1)证明是在上的一组基；(10分)
(2)将表示成的-线性组合。(5分)
3．(20分，每小题10分)
(1)解如下含参数的同余方程组:
(2)当时，求出上述同余方程组的最小正整数解。
考试科目：抽象代数共2页，第2页
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