考研数学中，微分中值定理是重难点。利用微分中值定理来证明与区间内某点出导数值有关的问题是考研当中的常考题型，这种类型的题大都以综合题的形式出现的。以下，跨考教育数学教研室吴方方老师就着重讲解微分中值定理。

　　考研当中对于这一部分的题目十之六七是用罗尔定理来证明的。关于罗尔定理，首先我们一定要掌握罗尔定理的内容以及使用罗尔定理的条件。其实，罗 尔这位数学家主要是研究方程根的问题的，后人为了纪念这位数学家，就以他的名字来命名了这个他们总结出的定理。考研题型中，关于微分中值定理这块，大都以 综合题的形式，往往是一个题目有两小问的。在研究生入学考试中，如果一个问题包含有两个小问题，往往第一个问题是第二个问题的提示，且两个问题是单独给分 的。如果不会证明第一问，可以直接利用第一问的结论来证明第二问。对于中值属于开区间( )，要证明函数在此处的导数等于0( 或者 )，这时我们往往要想到用罗尔来试着证明，找满足条件的相等的函数值。对于 ，我们找两点函数值相等( )，对于 )，往往要找三个点的函数值相等( )。

　　对于朗格朗日中值定理和柯西中值定理在研究生入学考试中的应用也是我们也是必须掌握的。当题目中出现两个中值( )时，要求我们证明存在不同的两个点 属于一个开区间，使得这两个点出的一阶导的乘积是个常数。

　　例如，05年考研数学一、二中出现过这样一题：已知函数在上连续，在内可导，且证明：(1)存在，使得；存在不同的两个点 ，使得。

　　此题主要考察了拉格朗日中值定理和闭区间上连续函数的性质。题目中第一问主要用的是零点定理。对于这类综合题，有两个小问，其第二问往往会用到 第一问的结论。这里我们主要谈第二问的证明方法。其有两个不同的中值，要证明的是两个中值处的导数的乘积等于一个常数，这时我们不能再用罗尔定理了。由于 要求两个不同的中值，所以对于这类题，我们首先要保证两个不同中值，即划分区间，然后分别用拉格朗日定理，或者有些题目是用一次拉格朗日和一次柯西中值定 理。对本题而言其是用两次朗格朗日中值定理来做的。因此，对于出现两个中值的问题，我们往往考虑两种情况：1，用两次朗格朗日中值定理，2，用一次拉格朗 日中值定理一次柯西中值定理。

　　对于泰勒公式或者叫做泰勒定理的证明题，其往往是已知函数的范围和二阶导的范围，让我们来求一阶导的范围等等。所用的泰勒公式是带有拉格朗日余 项的。这类题型一定要注意三点，1，我们泰勒公式展开到几阶；2，到底在哪一点展开；3，取哪些点带入公式，组成方程组来求所有解决的问题。

　　微分中值定理这一部分是研究生入学考试的重点和难度，希望同学们认真学习，深入掌握。

　　文章来源：跨考教育