数学将来可能会合并 水木艾迪俞正光老师解析考研数学大纲

　　俞正光老师是清华大学数学科学系教授，有多年教学经验，是清华大学第一线的主讲教授。长期担任水木艾迪考研辅导班线性代数主讲。对全国硕士研究生入学考试大纲与辅导教学要求有专门的深入研究，主编《线性代数与解析几何》《理工科代数基础》等各类考研数学辅导教材。
 
 
 
讲课风格深入浅出，条理规范，重点突出准确。

　　对于今年数学考试大纲，俞老师认为和06年相比首先从内容上做了一些调整。把微积分，线性代数，还有概率，三者之间的比例做了一些微小的变化，第二，在题型方面，客观题增加了两个选择题，然后减少了一个简答题。也就是说，相应的这样一个变化把微积分，线性代数和概率的比例做了一个变化。调整以后，由于把微积分的解答题去掉了，增加了两个选择题，相当于选择题里增加了八分。这样简答题的比例往下调了。这样一个变化，主要是在微积分里，也就是说，在我们考卷里，原来是23个题，从2007年开始改成了24个题。这24个题里，选择题是10个，填空题是6个，剩下的是简答题。把简答题变成了两个选择题。这样在分数比例上也做了一下调整。

　　原来像数一，微积分和线性代数和概率的比例是6比2比2，现在调整了以后，就变成了56比22比22。或者是从份量上来说，微积分的比重减少了一些，而线性代数的概率的比重稍微增加了一点儿。数二也一样，原来是8比2，现在变成了78比22。原来数三数四，原来线性代数的概率的比重是比较多的，原来是微积分跟线性代数跟概率是50比25比25。也就是说，微积分占一份的话，线性代数和概率各占二分之一，现在一样，也是调整。调整之后，比例还是56比22。也就是说，数一，数三，数四，他们的比例都重新调整了一下，基本上趋于一致。这是今年的一个区别。

　　把这个在题型上和内容上做了一个适当的调整。当然这个调整，其实还不是非常大的一个调整。第二是从考试内容上来看，这次变化比较大的主要是数二和数四。数二和数四在线性代数部分增加了二次性部分。对于考生来说，可能更加应该关心的是，今年的考试内容和要求上跟去年的考试内容和要求上有些什么区别，这是一个比较大的变化。原来数二，数四没有求二次型的要求。从前年到去年，增加了一个矩阵的内容。今年又增加了二次型这部分内容。数一，数二，数三，数四基本上内容是一样，差别非常小，从考生来讲，应该关注这样一个东西。至于内容比例之类的，一些很小的调整，对我们复习来说，是没有什么太大影响。应该说我们原来该怎么复习，现在还是应该怎么来复习。

　　从题目上来说，经过这个调整以后，微积分是有变化的。就是说把原来的一道简答题变成了两道选择题。从线性代数和概率的角度来说，这是没有任何变化的。原来是五个题现在还是五个题。这五个题是两个选择题，一个填空题还有两个简答题。这个从线性代数还有概率来说，还是维持原来的样子。只不过是里头分数的份量比原来稍微增加了一点。

　　对于今年的线性代数重点会在什么方面还有今年的线性代数应该注意哪些特别的问题。从线性代数来看，这几年考试的题目、题型，基本上都有很多相似的地方，因为线性代数一共是五个题，从线性代数的内容上来说，我们分六个章，有行列式，有矩阵，有向量，有方程组，还有二次性问题，一般来说是六章。但是线性代数的考题一共就五个题。它在这五个题里，要把这六个部分的内容基本上覆盖，我们考研，一个是考察基本概念，基本方法。另外一个是把考试大纲里的内容，大部分内容应该是得到覆盖。对你的知识面是一个全面的考察。从这几年的情况来看，基本上是两个解答题。解答题是综合应用各个部分的一些概念，一些基本知识，然后考察我们的分析问题，解决问题的能力。这几年基本上的分配大概是这样。一个大题，基本上是关于方程组或者是向量的线性表示，线性表示一转化就成了一个线性方程组的问题，你从向量的角度来看，实际上是向量的线性相关和线性无关的问题。一个大题基本上是覆盖了这样一块内容。另外一个大题基本上覆盖了线性代数里另外一个很重要的也是应用性很广的问题。特征质问题和二次型问题。二次型其实是一个二次齐次函数，二次型的问题实际上是讨论一个矩阵的问题。实际上，特征质问题里的矩阵的对角化问题。另外一个题，基本上它的覆盖面是特征质，这两个问题其实是联系在一起的。

　　至于其他的一些基本概念，比如像线性相关，线性无关。像这种概念，一般来说，我们在考试里是非常重要的问题，在考试里一定会反映。这几年主要的形式是通过选择题的形式来加以考察。考察我们对这些基本概念的理解以及一些简单的逻辑推理。至于其他的，还有几个比较重要的，一个是矩阵的初等变换，这是比较重要。从方法论来讲，矩阵的初等变换是解决我们函数里的一系列的问题的基本方法。可以讨论向量组里的向量的线性关系，还可以算线性方程组问题，从方法论上来说，线性变化是非常重要的，这个我们在复习的时候一定要特别重视，而且一定要练习得比较熟练。初等变换不只是一种方法，不只是在方法上有很重要的意义，其实从理论上来说，揭示了矩阵的很重要的性质。我们从考试大纲可以看出来，考试大纲从最初的只要掌握初等变化方法来算矩阵，而变成了要理解初等变换这个概念以及它的性质。这几年考题里，比如像今年的考题里，数一，数二，数三，数四，这四个都有同样一道题，这道题就是一个矩阵经过初等变换以后，考察它的一些性质的一道题。我们不只是从方法上要理解它，而且要掌握关于的初等变换。像其他的求矩阵的值，也可能通过一些独立的小的题目出来，也可能会在一些综合的题里头考察。

　　还有从今年大纲的变化来看，我预测将来我们数学的大纲数一，数二，数三，数四的差别会越来越小。比如像线性代数，数一，数二，数三，数四的内容和要求，基本上是一样的。比如像概率的话，数一、数三，数四也比较接近。现在还没有到像线性代数那么一致，但是也比较接近。这就反映了一个什么情况呢？数学作为我们学生，这是一种很基本的能力，我们主要是要来考察学生的数学的修养或者是数学的素质。所以我们在考试的内容上来说，慢慢的会趋向于越来越接近。另外从考题的情况来看，也是越来越共通。因为考察一个学生的能力，因为它不是一个数学竞赛，不是去选拔一些有特殊能力的人，而是考研是选拔我们将来要培养高级人才的，从这个角度来说。所以我们在考题上，考察大家的情况来说，最主要的还是通过一些基本概念和基本方法。看你这个基本概念是不是理解得很清楚。基本理论是不是理解得很透彻，在基本方法上，你是不是很熟练的来应用。而要考察这些方面，其实用不着出难题，我们可以看到这几年的考题里基本上没有什么难题。题目应该说比较容易，就像今年的考试一样，考生的反映，觉得这个题很容易，对自己很有信心。尽管它是很容易，但是我们可以知道，通过考试的情况，还是能够把考生的不同情况分离出来。因为考试是一个筛选的过程，要看你的基本概念掌握的是不是很熟练，运用的是不是很灵活，基本方法是不是掌握得很好。因为基本概念掌握好坏涉及到你对这道题，一个是用得对不对，第二，你是不是很灵活。可能是很简单的题，你可能做得很繁，也可能做得很简单。你用五分钟，十分钟，他可能用两分钟，三分钟就能做好。这样就能把同学之间不同的素质差异分出来。

　　所以现在数学越来越多的时候，可能会向一个素质选拔这样一个方向去发展。从前两三年就开始，到处都在传说，数三和数四要合起来了，虽然都是经济类的，原来分得比较细，认为某些专业可能对数学要求要高一点，多一点，有的专业可能要低一点。这样的话，把这个分类分得特别细。但是你从整个我们考察它的素质来看，一个从数学的角度来说，实际上是一样的。这个跟我们目前教学的情况也相呼应。数三，数四合并恐怕快了，今年没有实现，明年、后年可能就会实现。数三，数四合起来以后，数一，数二，数三合并的可能性就很小了。当然数二比较特殊，没有考概率。一个是从这几年可以看出来，慢慢的都接近了，第二，另外一个做法就是说，他在考题里尽量用一些公用的题。最早的时候，数一一份题和数三，数四已经不一样了。这几年慢慢做到了一道题，数一，数二，数三考。数四换成一道稍微简单一点的题。

　　今年的大纲是趋于同一，是不是同时也意味着对于经济类考生所面临的考研的难度将有所提高呢？实际上从题目难度来讲，理工类跟经济类应该是相当的。以往的情况下，比如说线性代数跟概率，经济类的比重比较大，分值也多，相对来说，它的题目，线性代数的比重大，就是说比较难。你相对于经济跟理工同样的题来说，这个题上，由于增加的分值不一样，像去年的题就很明显了，有一道题，数一，数二考的特征值方面有两个小题。到数三，数四这个地方来，因为它的分值比它高。除了第一，第二又加了第三个小问题。如果分值一样的话，两个都是一样的。加一个小集，会者不难，难者不会。但是现在不会有这种现象。

　　还有最后同学们在复习中一定要注意基本知识的理解。对于基础概念的理解，可能是对于提高成绩，解决问题的最有效的保障。我们说一个基本概念，你是不是理解它。不只是说你会不会背这个定义。定义只是和这个概念的初始表现，从数学上来说，是非常严格的。一个字一个字都是有所讲究的，你把它背下来了，只能说你知道了有这么一个概念，但是这个概念，究竟是一个什么样的概念，不完全只是从定义，逐个字抠一下解决的。一个概念应该从这么几个角度。一个角度是这个概念是怎么提出来的，他是怎么产生的，产生的背景是什么。比如说一些概念，你不要把它背定义可能都会背。但是背完了之后你是不是理解，知不知道这个概念到底是什么意思。所谓线性相关，我们说的是有一个向量组，或者是单个向量构成一个向量组，线性相关的概念是讨论这个向量组的一种性态，所谓整体的性态，我们知道，向量跟向量之间，有的向量跟向量之间，他们是有一定的线性联系。就是说，它可以用其他的向量表示出来。但是有的向量是不能由其他向量来进行表示的。如果说，整个的向量组里，如果向量跟向量之间，都不能线性表示，或者是没有一个向量能用其他的向量表示，那就意味着这些向量互相之间都是线性独立的。它的背景实际上是这些向量之间没有任何的线性依赖关系，另外一种是有线性依赖关系。所谓线性依赖关系是这个向量组里有一个向量能用其他向量表示，那就说明这个向量组里，向量和向量之间不是没有关系的。你把这个理解的话，你对向量组的线性相关，线性无关这个性质，就不是很枯燥的。

　　第三个，你一个概念，光这样去理解，恐怕还是一个很抽象的概念。你不妨可以在二维的平面里，或者是三维空间里考。在二维平面里，两个向量如果不是平行的或者不是共线的，这两个向量互相之间是线性无关。如果在二维空间里，如果你有三个向量，你在纸面上随便画三个向量，这三个向量，如果两个向量不平行的话，第三个向量一定可以通过平行四边形法则把这三个向量联系在一起。也就是说，这个向量可以用那两个向量表示。你在理解一个概念的时候，除了会背定义之外，你还要有一些很形象的或者是一些几何上的或者是一些数量上的背景来支撑你对这个概念的理解。 第三，我们对一个概念，还要除了研究它的内涵以外，还要研究它的外延，线性代数里头，概念和概念之间联系是非常紧密的。就是说，你对同样一个问题，我可以用线性相关，线性无关来理解。我也可以把这个问题转化为一个矩阵的质来理解。你还可以把同样一个问题转化为一个线性方程组的问题来理解。当你对同样一个问题，你用不同角度理解的时候，这个时候，你可能就会产生不同的思路，不同的方法。如果你在复习的时候，对一些题目，你都能做这种分解的话，慢慢的，你对整个问题，你就会有一种，不只是完全理论上的，遇到什么题就用什么方法，遇到什么题就用什么方法。你就会很灵活的知道遇到什么问题之后，通过什么途径，很快的能够拿下来。我们说的概念的理解，不完全只是背一下定义。背一下定义，这个不是很难的。但是你能不能正确理解，会不会正确的应用，说到概念，在复习里，你还要考虑一下，这个概念有什么用处，可以用来解决什么问题，在不同的问题里，这个概念又是用什么形式来表现。如果说你能够把这些方面都搞清楚的话，我想你到考试的时候，就不会有太大问题。