【解析名师】李良

　　【解析科目】2016考研数学线性代数、概率统计真题及答案

　　李良：大家好，我是北京新东方学校考研数学老师李良，今天给大家解析一下2016年考研数学的线性代数和概率论部分，今天的2016年考研数学已经结束，相信大家已经做完之后可能感慨万千，今年的题目，因为现在我们只看到了数一数二的情况，数一数二从题目难度来说的话应该算是难度大，计算量也特别大，尤其像数学一，由于今天只说一下概率和线代部分，我们就先谈谈概率论。

　　2016考研数学概率伦部分

　　概率论的5个题，像数学一的这5个题，从考察角度来说的话，考得相对来说是比较灵活的，只有一个题跟原来考的东西差不多，就是我们选择题的第7题，考察正态分布问题，我们一直在上课当中也提到，只要考到正态问题，我们通常考虑的就是给它进行标准化，变成标准正态之后进一步去处理它，所以第7题跟原来考过的一个题几乎就差不多，所以这道题的4分还是比较好得的。

　　第8题，第8题很多同学可能没有太搞清楚在考什么，这道题算考得比较灵活的，这个题算考没考过呢?这其实是2010年数学一考的最难的大题第二问，跟第二问差不多，第二问是在让我们去算一个方差，这个题就是在算方差的时候会出现一个东西，实际上也是在考什么呢?相当于是属于独立重复事件问题，独立重复事件大家也并不陌生，实际上2015年刚刚也考过独立重复事件，一旦涉及到独立重复事件问题，当然我们要想到结合的是不是二项分布，做了两次独立重复事件，表示它发生的次数，结合二项去处理它，这里x和y分别都是二项分布，它让我们去算一下相关系数，你要直接去处理相关系数，其实还是有一定的难度。

　　所以我们可以结合方差的性质dx+y=ds+dy，加上二倍的斜方差，这样的话就可以出现斜方差，同时算ds+y，其实也就是我们在2010年的时候考大题，算dt的时候，实际上相当于在算dn2+dn3的这种情况，相当于把那道题做了一个变形，那道题其实也是一个独立重复观察问题，通过这种方法相关系数我们就容易算出来等于负二分之一。这道题的具体答案，我们稍后在新东方网站上会公布比较详细的一个答案解析，所以在这儿我们把知识大概说一下。

　　考的14题也算是没有出意外，因为在前期在后期我都会提一句，因为数学一有太久没有考区间估计了，今年很有可能会考到，14题考填空题，相当于考到了区间估计问题，只不过这道题考的相对还是比较灵活，但是把我们前面讲的区间估计的时候，怎么去写出这样置信区间，这两样东西掌握清楚，其实很容易把它写出来，这道题当然是构造一个T分布去处理问题的，解决μ问题，它的σ是未知的，构造一个T区解决它，这就可以。

　　今年概率论与数理统计相对比较难的是大题，22题相对来说有一点难，一共有三问，我们说至少有一些分是比较好得的，第一问，由于是一个二维区域匀分布，二维区域匀分布联合密度函数，第一问让你写出来，这是很容易写的，所以不要被他的表面现象吓住，至少第一问的分要把它拿到手，二维均匀分布它的联合密度函数是面积分之一。

　　接下来第二问涉及到随机判定独立性，这也是我在后期上课的时候一再强调的，因为独立性判定太久没有涉及了，只不过这道题考的相对来说还是要恶心一点的，因为原来我们所提到的都是两个连续性，判定独立，怎么判定，两个连续性判定独立，如果联合有了，我们把边缘找一下，看边缘乘起来等不等于联合，如果是两个离散性让判定独立，如果联合分布律有了，我们看把两个边缘找到，然后看边缘乘起来等不等于联合，如果联合不知道，我们说就看看是不是能找从原始定义出发，看看能不能找到特殊的点，去算概率，算出来如果乘积的概率不等于概率乘积，我们就判定它是不独立的，这道题其实它不是二维离散，也不是二维连续，它其中一个是离散，一个连续，让我们去判定它独立还是不独立的问题，只要没有联合的时候，让我们判定独立，通常都是考虑不独立，考虑不独立的话，通常我们就去找一个特殊的点，这道题也不例外，一个是离散，一个是连续，我们可以去找一个具体的点，代进去看看。然后第三问，第三问其实相当于把一个离散，一个连续相结合的函数分布，最后一次考大题是在2008年，考小题是在2009年，我在后期上课也提到，这种问题也好几年没出现了，需要大家去注意一下，只不过现在大家应该对这个问题掌握得还是比较清楚。

　　在后期讨论问题的时候，实际上很多人会存在的问题，可能就是讨论端点的时候怎么去讨论，在最后一次点金串讲的时候，其实我还提到过这样一个问题，在一个离散，一个连续相结合，它的函数分布，如果小的范围，你直接讨论起来不太会做的时候，我们当时说了一个小技巧，就是把离散型的两个点跟连续型的分段函数的分段点，最后看看正好去结合成了，像这道题是结合成了四个点，我们把结合成的四个点代到函数里边，去找到三个值把它分成四段去做，在最后点睛的班上我们还说过这样一个问题，如果把这个问题搞清楚，实际上这道题还是可以清楚的，它的计算量还是有那么一点点大，但是把这点方法掌握清楚了，按照这个套路下来，实际上真正在算积分的时候，还是好计算的。当然这道题应该说在2016年算是难度比较大的题目，但是得分率应该不会太低，为什么?至少第一问是容易得分的，至少能把联合密度函数写出来。联合密度函数有了之后，比如说像这道题里面涉及到一个随机变量X，当时我们在上课说过，你实在不太会做的话，涉及到随机变量X，相当于是它的边缘，你应该也要会把边缘给它求出来，至少这些分是可以得到手，把能得的分得到。

　　23题这个大题，相对来说是概率论里面，算比较好得分的，跟22题相比较，这道题的11分就不应该丢掉的，这相当于考察取最大最小分布点，这道题其实是描着2003年数学一大题改的，2003年那个大题是N个取最小的，让我们去求它的分布函数，求它的密度函数，最后再求一个期望，这个题改成了简单一点，三个取最大的，然后让我们去求它的密度函数，考函数分布问题，当然你是不是先找到它的分布函数，然后求导得幂度函数，不出意外，又是一个无偏性问题，当然今年没有考矩估计法和最大似然估计，没有考这个东西，肯定会考你统计量数字特征计算，考无偏估计其实就是在考你统计量数字特征计算，AT是Θ的无偏估计，相当于就是A×T的7万倍，求完之后去解决它，这个分是好得的，像概率论与数理统计一共30多分，今年有那么十几分好得，像第7题跟23题相对比较好得，其他几个题相对比较灵活，像区间估计那道题，如果后期你花时间去做过，区间估计这道题也不是太有难度，如果后期没有对区间估计太联系过的话了，这道题10分可能就悬了，因为区间估计，上一次考试在2003年，太久没有涉及。

　　接下来我们再来看一下，因为数学三我们现在还不清楚，从有的同学反馈，今年数学三应该跟数一、数二的区别还是蛮大的，数一、数二今年普遍反映都是比较难的，所以今年的分数线相对就一定会低的，但数学三今年考的情况应该跟以前差不多，应该是属于比较常规的一些考法，所以数学三应该还是比较简单的。

　　2016考研数学线性代数部分

　　我们再看看线性代数的题，线性代数的题考得相对来说还是比较灵活的，当然有一些点考得还是跟以前差不多，像线性代数第5题考的相似判定问题，相似在近些年其实考的相对来说比较多，连续两年大题都考到相似问题，第5题一个小题也考到相似，相似可以用定义直接去判定，像这道题实际上从定义出发就能把它给选出来，只有C选项是错的。第6题这道题出的其实还是蛮恶心的，也考过，把二次型跟高等数学里边二次曲面结合起来去考察，本来二次型我们经常考到的就是让它变成一个标准型，把一个二次型通过正交变换，变成标准型或者变成规范型，或者通过配方变成一个标准型，但是问变完之后，是一个二次曲面对应什么，你就需要把二次曲面那块的旋转、剖面，单叶双曲面，双叶双曲面这些东西大概需要去记一下，这道题没记住的话其实真的挺悬的，尤其出现单叶双曲面，双叶双曲面，很多人不太能分得清，像这个双叶双曲面它应该是有两个是负，一个是正的情况，然后去得到特征值之后，或者得到它的正负关系指数之后，我们去把它选出来。

　　再看一下填空题里边，填空题算一个行列式，相对来说这道题应该有没什么难度，一个计算问题，一个四阶行列式，让我们去计算一下，这个还是很好解决的。

　　从大题来说的话，大题考解方程组问题，像数学一的第一个大题，矩阵方程也是刚涉及没多久，2014年刚考的一个题涉及到矩阵方程，问我们矩阵方程什么时候有唯一解，什么时候有无穷多解，有解时让你把方程求解出来，包括2015年其实也涉及到矩阵方程，去考察这个问题，实际上主要的还是我们在判定方程组解的问题的时候，矩阵方程无非成为一个大的增广矩阵，看这个大的增广矩阵的质，跟原来系数矩阵的质是不是相当的，如果相等了，等于未知数的个数，相当于是唯一解，如果相等于了小于未知数的个数，相当于是无穷多解，最后把它解出来这就可以了。

　　21题，21题涉及到叫矩阵的幂次问题，这个在我们的真题班，原来我主要说的是数学三，数学三可能考的题跟这个题也算一样的，只要涉及到矩阵幂次问题，就是考到叫对角化问题，直接让你把这个矩阵拿来99次方这是很恶心的一件事情，所以我们仍然需要去做的事情，就是去算它的特征值，算它的特征限量，看看是不是把矩阵A对角化，对角化之后，通过对角矩阵的反向去处理它，把一个矩阵A写成PE对角矩阵的形式，然后再把它99次方，像对角矩阵99次方，就对角线元素99次方，这就可以了。好，这是数学一的。

　　那么数学二里面，像线性代数的题目，当然有些题是一样的，像第7题，跟数学一的第7题是一样，第8题涉到二次型正负惯性指数问题，像二次型正负惯性指数问题，说正负惯性指数分别为一和二，如果涉及到二次型的正负惯性指数问题，我们可以通过算二次型正负惯性指数的特征值，然后去处理它。这是一种做法，也可以通过配方的形式去处理它。像2014年考的一个填空题，也就涉及到正负惯性指数问题，所以直接算特征值不太好算，我们可以通过配方去解决它。你看看是可以通过二次型的举证的特征值处理好解决，还是通过配方好解决，那么这是两个途径，这样的话，我们去得到A的一个范围，这就OK了。

　　还有22题也是涉及到方程组，非齐次线性方程组解的问题，看起来挺复杂。第一问当然比较简单，一个非齐次什么时候无解，那么就要求系数举证和正负举证是不相等，那么就无解了。

　　第二个让你求非齐次的通解，当然你需要把这个A转至β，把它乘出来，乘出来之后，根据非其次方程的解，怎么去处理，这个应该算是比较常规的。所以今年从线代和概率这个角度来说，应该相比较而言，比高等数学可能稍微要轻松一些，今年应该说高等数学算是比较大的一点，整张试卷像数学一和数学二都体现一个特点，确实难度是加大了，然后计算量也是偏大。所以今年考的同学不要太担心，因为难大家都还是一样的，那么对于2017年复习的同学来说，也给了大家一个启示，就是数学要复习还是得踏踏实实的，基础要扎实，计算要过关。

　　2017考研数学备考建议

　　所以从现在你要开始复习这个考研数学，现在你就得扎扎实实的，先把这些基础知识整得非常清楚，尤其是从课本开始，要把所有基础的知识搞清楚，一些基本的计算，平时一定要练到位，尤其是你考数一数二，数学三的话，相对来说计算量还是要小一些，但是数一数二的计算量确实还是比较大的，所以踏踏实实地学数学，如果要考数学，数学不是一蹴而就的，一定是积累在平时的。一定一开始去把这些基础知识稳打稳扎的，把它整清楚，把教科书整上一两遍，然后再去通过做题，不断地去把这些知识弄扎实，后期再通过训练才能更好，如果是到后期就想通过做一些题你就能突破突破考研，这个可能性几乎是很小的。

　　今天的解析我大概也就说这么多，考完的同学在新东方官方网站上可以去对对答案，考好了你高高兴兴，考得不是太好，你也不要太沮丧，应该说机会还是有的，因为今年题确实有点难的。也祝愿今年考过的同学，我们都能考上理想的学校，谢谢大家!