考研数学的定理证明是一直考生普遍感觉不太有把握的内容，而2016年考研数学真题释放出一个明确信号——考生需重视教材中重要定理的证明。下面跨考教育为考生梳理一下教材中那些要求会证的重要定理。

三、微积分基本定理的证明

该部分包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变限积分求导定理的条件是变上 限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公式对闭区 间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在 开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。单侧导数类似考虑。

“牛 顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成， 从此微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过，提起该公 式的证明，熟悉的考生并不多。

该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在 闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成 立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用 原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差 个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。

四、积分中值定理

该 定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把积分变量x换成中值。如何证明? 可能有同学想到用微分中值定理，理由是微分相关定理的结论中含有中值。可以按照此思路往下分析，不过更易理解的思路是考虑连续相关定理(介值定理和零点存 在定理)，理由更充分些：上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值而且不含导数，而待证的积分中值定理的结论也是含有中值但不含导数。

若我们选择了用连续相关定理去证，那么到底选择哪个定理呢?这里有个小的技巧——看中值是位于闭区间还是开区间。介值定理和零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间，而待证的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。那么何去何从，已经不言自明了。

若 顺利选中了介值定理，那么往下如何推理呢?我们可以对比一下介值定理和积分中值定理的结论：介值定理的结论的等式一边为某点处的函数值，而等号另一边为常 数A。我们自然想到把积分中值定理的结论朝以上的形式变形。等式两边同时除以区间长度，就能达到我们的要求。当然，变形后等号一侧含有积分的式子的长相还 是挺有迷惑性的，要透过现象看本质，看清楚定积分的值是一个数，进而定积分除以区间长度后仍为一个数。这个数就相当于介值定理结论中的A。

接 下来如何推理，这就考察各位对介值定理的熟悉程度了。该定理条件有二：1.函数在闭区间连续，2.实数A位于函数在闭区间上的最大值和最小值之间，结论是 该实数能被取到(即A为闭区间上某点的函数值)。再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值定理的条件成立。函数的连续性不难判断，仅需说明定积分除以区 间长度这个实数位于函数的最大值和最小值之间即可。而要考察一个定积分的值的范围，不难想到比较定理(或估值定理)。

定理证明确属难点，但几乎没有考生敢于不去复习这部分，因为一旦考出来就是大题，且在没复习的情况下当场做出的可能性很小。在此提醒2017的考研学子，掌握好以上梳理的重要定理的证明，是通往高分的必经之路。