上海海事大学研究生入学考试考试大纲

考试科目：831高等代数

参考书：北京大学编《高等代数》(第三版，王萼芳、石生明修订)，高等教育出版社

题型及分数比例共计150分

填空题、选择题共60分;计算题70分;证明题20

考试大纲：

全面系统地理解高等代数中的基本概念、基本原理和基本方法，熟悉多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换和欧氏空间等主要内容，具备较强的抽象思维和逻辑推理能力，总体达到高等学校优秀本科毕业生“及格”以上水平。

考试大纲：

第一章 多项式

1、多项式的整除性，带余除法;

2、多项式的因式分解，最大公因式和重因式;

3、不可约多项式的判定和性质;

4、多项式函数和多项式的根;

5、实数域、复数域和有理数域上的多项式。

第二章 行列式

1、行列式的性质和计算;

2、范德蒙行列式、常用计算技巧;

3、行列式按行按列展开、拉普拉斯展开;

4、克莱姆法则。

第三章 矩阵

1、矩阵运算;2、初等矩阵与初等变换;3、可逆矩阵;4、分块矩阵;5、矩阵的秩;6、矩阵乘积的秩和行列式;

7、矩阵的等价，合同，相似，正交相似;8、矩阵的特征根和特征向量，矩阵的对解化。

第四章 线性方程组

1、线性方程组的求解和讨论;2、线性方程组有解判别定理;3、线性方程组的解结构及其解空间的讨论。

第五章 二次型

1、二次型的标准形与合同变换;2、复数域和实数域上二次型的标准形，规范型;3、正定二次型及其讨论。

第六章 线性空间

1、线性空间的定义和性质;2、向量的线性相关性、极大线性无关组;3、基，维数和坐标;4、基变换和坐标变换;

5、线性子空间;6、子空间的交与和、直和。

第七章 线性变换

1、线性变换的概念和性质;2、线性变换的运算;3、线性变换的矩阵;4、线性变换的值域和核;

5、线性变换(矩阵)的特征多项式，特征值与特征向量;6、不变子空间。

第八章 欧氏空间

1、向量内积的定义和性质;

2、标准正交基(组)和度量矩阵;

3、正交变换和正交矩阵;

4、对称变换、实对称矩阵的标准形。