考试性质中国科学院大学硕士研究生入学高等数学（乙）考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的选拔考试。它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。考试对象为参加全国硕士研究生入学考试并报考大气物理学与大气环境气象学天文技术与方法地球流体力学固体地球物理学矿物学岩石学矿床学构造地质学第四纪地质学地图学与地理信息系统自然地理学人文地理学古生物学与地层学生物物理学生物化学与分子生物学物理化学无机化学分析化学高分子化学与物理地球化学海洋化学海洋生物学植物学生态学环境科学环境工程土壤学等专业的考生。二考试的基本要求要求考生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。要求考生具有抽象思维能力逻辑推理能力空间想象能力数学运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。三考试方式和考试时间高等数学（乙）考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。四考试内容和考试要求（一）函数极限连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性单调性周期性和奇偶性复合函数反函数分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：，函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 函数的一致连续性概念考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2. 理解函数的有界性单调性周期性和奇偶性。掌握判断函数这些性质的方法。3. 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。会求给定函数的复合函数和反函数。4. 掌握基本初等函数的性质及其图形。5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左右极限之间的关系。6. 掌握极限的性质及四则运算法则，会运用它们进行一些基本的判断和计算。7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限。掌握利用两个重要极限求极限的方法。8. 理解无穷小无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10. 掌握连续函数的运算性质和初等函数的连续性，熟悉闭区间上连续函数的性质（有界性最大值和最小值定理介值定理等），并会应用这些性质。（二）一元函数微分学考试内容导数的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线基本初等函数的导数导数的四则运算复合函数反函数隐函数的导数的求法 参数方程所确定的函数的求导方法高阶导数的概念高阶导数的求法微分的概念和微分的几何意义 函数可微与可导的关系 微分的运算法则及函数微分的求法 一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的应用 微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则泰勒(Taylor)公式 函数的极值函数最大值和最小值函数单调性函数图形的凹凸性拐点及渐近线函数图形的描绘考试要求1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，掌握函数的可导性与连续性之间的关系。2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的求导公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。4. 会求分段函数的一阶二阶导数。5. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶二阶导数6. 会求反函数的导数。7. 理解并会用罗尔定理拉格朗日中值定理和泰勒定理。8. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。9. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。10. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。（三）一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理变上限定积分定义的函数及其导数牛顿－莱布尼茨（Newton－Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数三角函数的有理式和简单无理函数的积分广义积分（无穷限积分瑕积分）定积分的应用考试要求1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。2. 熟练掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理。掌握牛顿－莱布尼茨公式。掌握不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。3. 会求有理函数三角函数有理式和简单无理函数的积分。4. 理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数。5. 理解广义积分（无穷限积分瑕积分）的概念，掌握无穷限积分瑕积分的收敛性判别法，会计算一些简单的广义积分。6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积平面曲线的弧长旋转体的体积及侧面积截面面积为已知的立体体积功引力压力）及函数的平均值。（四）向量代数和空间解析几何考试内容向量的概念向量的线性运算向量的数量积向量积和混合积两向量垂直平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程直线方程平面与平面平面与直线直线与直线的夹角以及平行垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面母线平行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程考试要求1. 熟悉空间直角坐标系，理解向量及其模的概念。2. 熟悉向量的运算(线性运算数量积向量积)，掌握两个向量垂直平行的条件。3.理解方向数与方向余弦向量的坐标表达式，会用坐标表达式进行向量的运算。4. 熟悉平面方程和空间直线方程的各种形式，熟练掌握平面方程和空间直线方程的求法。5. 会求平面与平面平面与直线直线与直线之间的夹角，并会利用平面直线的相互关系（平行垂直相交等）解决有关问题。6. 会求空间两点间的距离点到直线的距离以及点到平面的距离。7. 了解空间曲线方程和曲面方程的概念。8. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。9. 了解常用二次曲面的方程图形及其截痕，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。（五）多元函数微分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限和连续有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数偏导数和全微分的概念及求法多元复合函数隐函数的求导法高阶偏导数的求法 空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线方向导数和梯度二元函数的泰勒公式多元函数的极值和条件极值拉格朗日乘数法多元函数的最大值最小值及其简单应用 考试要求1. 理解多元函数的概念理解二元函数的几何意义。2.理解二元函数的极限与连续性的概念及基本运算性质，了解有界闭区域上连续函数的性质，会判断二元函数在已知点处极限的存在性和连续性。3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念 了解二元函数可微偏导数存在及连续的关系，会求偏导数和全微分。4.熟练掌握多元复合函数偏导数的求法。5.掌握隐函数的求导法则。6. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。7.理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8. 了解二元函数的二阶泰勒公式。9. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值最小值，并会解决一些简单的应用问题。（六）多元函数积分学考试内容二重积分三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念性质及计算两类曲线积分之间的关系格林（Green）公式平面曲线积分与路径无关的条件已知全微分求原函数两类曲面积分的概念性质及计算两类曲面积分之间的关系高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式散度旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用考试要求1. 理解二重积分三重积分的概念，掌握重积分的性质。2. 熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标极坐标），会计算三重积分（直角坐标柱面坐标球面坐标），掌握二重积分的换元法。3. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。熟练掌握计算两类曲线积分的方法。4. 熟练掌握格林公式，会利用它求曲线积分。掌握平面曲线积分与路径无关的条件。会求全微分的原函数。5. 理解两类曲面积分的概念，了解两类曲面积分的性质及两类曲面积分的关系。熟练掌握计算两类曲面积分的方法。6. 掌握高斯公式和斯托克斯公式，会利用它们计算曲面积分和曲线积分。7. 了解散度旋度的概念，并会计算。8. 会用重积分曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积曲面的面积物体的体积曲线的弧长物体的质量重心转动惯量引力功及流量等）。（七）无穷级数考试内容常数项级数及其收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域和函数的概念幂级数及其收敛半径收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法泰勒级数 初等函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式在近似计算中的应用 函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet）定理函数在[-l，l]上的傅里叶级数函数在[0，l]上的正弦级数和余弦级数。考试要求1. 理解常数项级数的收敛发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件2. 掌握几何级数与p级数的收敛与发散情况。3. 熟练掌握正项级数收敛性的各种判别法。4. 熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5. 理解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7. 理解幂级数的收敛域收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径及收敛域的求法。8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10. 掌握一些常见函数如e^xsinxcosxln(1+x)和(1+x)^α等的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11. 会利用函数的幂级数展开式进行近似计算。12.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数。（八）常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降价的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程欧拉（Euler）方程微分方程的简单应用考试要求1. 掌握微分方程及其阶解通解初始条件和特解等概念。2. 熟练掌握变量可分离的微分方程的解法，熟练掌握解一阶线性微分方程的常数变易法。3. 会解齐次微分方程伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4. 会用降阶法解下列方程：y⁽ⁿ⁾=f(x)，y″=f(x，y′)和y″=f(y，y′)5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7. 会解自由项为多项式指数函数正弦函数余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。8. 会解欧拉方程。9. 用微分方程解决一些简单的应用问题。五主要参考文献《高等数学》（上下册），同济大学数学教研室主编，高等教育出版社，1996年第四版，以及其后的任何一个版本均可。编制单位：中国科学院大学编制日期：2018年7月10日