评价：

高次曲面插值根据变量值已知点和变量值未知点的坐标所构成的圆锥，进行插值，为从离散点构建一个连续的表面提供了一个比较优秀的插值方法。

由于在计算权重系数时需要已知点的距离矩阵及其逆矩阵，因而当数据点增多时，矩阵及其逆的求解都比较费时。

（5）趋势面分析

趋势面分析的一个基本要求就是，所选择的趋势面模型应该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度精确度才能达到足够的准确性。

趋势面分析是通过回归分析原理，运用最小二乘法拟合一个二维非线性函数，模拟地理要素在空间上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的变化趋势。

在数学上，拟合数学曲面要注意两个问题：一是数学曲面类型（数学表达式）的确定，二是拟合精度的确定。

1、趋势面模型的建立

用来计算趋势面的数学方程式有多项式函数和傅立叶级数，其中最常用的是多项式函数。因为任何一个函数都可以在一个适当的范围内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可使所求的回归方程适合实际问题的需要。

2、趋势面模型的参数估计

趋势面分析的核心就是从实际观测值出发推算趋势面，一般采用回归分析方法，使得残差平方和最小从而估计趋势面参数。

3、趋势面模型的适度检验

•    优点

•    产生平滑的曲面；

•    结果点很少通过原始数据点，只是对整个研究曲产生最佳拟合面；

•    缺点

•    高次多项式在数据区外围产生异常高值或低值

（6）最优插值

最优插值由Gandin首先发表，并应用在气象领域的“对象分析(Objective Analysis)”中，随后由世界气象组织(World Meteorological Organization)推荐使用。

此法假设观测变量域是二维随机过程的实现，此外，还认为未知变量值测点的变量值是它周围n个测点变量值的线性组合(Creutin,1982)。

（7）样条插值

样条插值的目标就是寻找一表面s(t)，使它满足最优平滑原则，也就是说，利用样本点拟合光滑曲线，使其表面曲率最小。

相当于扭曲一个橡皮，使它通过所有样点，同时曲率最小。

样条函数是灵活曲线规的数学等式，为分段函数，一次拟合只有少数数据点配准，同时保证曲线段的连接处为平滑连续曲线。这就意味着样条函数可以修改曲线的某一段而不必重新计算整条曲线，插值速度快；保留了微地物特征，视觉上的满意效果。

样条插值类型

1)  规则样条插值

        拟合的曲面光滑、渐变，可能超出采样点的范围。

        权重—在曲率最小化表达式中，定义曲面的3阶导权重，控制表面的平滑度。权重越大，曲面越光滑；权重必须大于或等于0，常取值为0， 0.001， 0.01，0.1， 0.5等。

2)  张力样条

        拟合的曲面不似前者那样光滑。

        权重：定义张力的权重。该系数越大，拟合表面越粗糙。权重必须大于或等于0，常取值为0， 1， 5，10等。

评价：

不适用于在短距离内属性有较大变化的地区，否则估计结果偏大。

样条内插的误差不能直接估算，同时在实践中要解决的问题是样条块的定义以及如何在三维空间中将这些块拼成复杂曲面而又不至于引入原始曲面中所没有的异常现象等问题

（8）克里金插值

1、原理

理论假设：认为任何在空间连续变化的属性既不是完全随机，也不是完全确定的。任何变量的空间变化表现为三个主要成分的和：

与恒定均值或趋势有关的结构性成分；

与空间变化有关的随机变量，即区域性变量；

与空间变化无关的随机噪声项或剩余误差项。

一旦结构性成分确定后，剩余的差异变化属于同质变化，不同位置之间的差异仅是距离的函数

区域性变量的特点：

随机性。即局部不规则的随机性质，可以进行统计推断。

结构性。即存在某种空间自相关,可用某一数学函数来表示。

半变率图的组成

块金值（c0； Nuddget): 当h = 0时的非零变率，由不可解释的原因引起 ；

基台值（c0+c；sill): 半变率曲线变平缓时的变率值，表明在某个距离上样本点不再存在相关性，通常等于数据集的方差；

变差值（range）: 当基台值出现时的h值 (sill 95% 时的h值).

重要的是原点附近半变率图的形状，越是最近的点对插值结果的影响越大。

3、Kriging插值的方法

其它kriging插值

通用克里金插值：要求数据是二阶平稳的或纯平稳的

泛克立金插值：如果数据在空间上存在明显的趋势，那么，应该使用泛克立金方法进行分析

块克里金插值：对中心在X0的小区或块段进行估值

协克里金插值：协同克立格分析是一种空间数据的解释技术，其基本的思想是利用变量之间的空间相关关系进行估计或预测。按照如下的统计准则，它可能是目前最好的空间数据分析方法

要处理的问题是：有两个空间变量，如果第二个变量的分布广，采样密度更高，而第一个变量难以测定或测定的费用较高，那么，可以利用有限样本的变量之间的空间关系来改进对于第一个变量的估计。

九、栅格运算

1、局域运算

2、邻域运算

1、 邻域运算通常用邻域内的像元值（包括或不包括焦点像元值）来进行计算，然后，将计算值赋予焦点像元。要完成一个栅格的邻域运算，需要将焦点像元从一个像元 移到另一个像元，直到所有像元都被访问过。尽管邻域运算在单一栅格上进行，但其处理过程类似于多个栅格数据的局域运算。不同的是，邻域运算使用定义邻域的 像元值，而不是用不同输入栅格的像元值。

2、块状运算：是一种使用矩形(块状)的邻域运算，它将计算值赋予输出栅格数据中的所有块状像元。因此，块状运算与普通邻域运算不同，即运算不是从一个像元移到另一个像元，而是从块到块。

3、邻域运算的一个重要应用是简化数据。例如，滑动平均减少了输入栅格像元值的波动水平。该方法用3X3或5X5矩 形作为邻域空间。随着邻域从一个焦点像元移到另一个焦点像元，计算得邻域像元值的平均值并将其赋予该邻域的焦点像元。滑动平均输出栅格代表初始像元值的综 合概括。另一例子是以种类数为测度的邻域运算，先计算邻域内不同像元值的像元数，再把该数目赋予焦点像元。例如，这种方法可在输出栅格中表示植被类型或野 生物种的种类数。

图像处理中经常用到邻域运算，而且不同的时候有不同的名称，如用于空间要素处理的滤波、卷积和视窗 移动操作。例如，边缘增强可以使用值域滤波器，基本上是一种采用值域统计值的邻域运算。值域是量测定义邻域内最大值和最小值之差。因此，高的值域值指示邻 域内有边缘存在。边缘增强的反面是基于众数度量的平滑运算。众数运算是把频率最高的像元值赋予邻域内的每个像元，因而生成一个比初始栅格更为平滑的栅格。

地形分析是十分依赖于邻域运算的另一个研究领域。一个像元所代表的坡度，坡向和表面曲率的测算，都来自相邻的邻域像元高程值的邻域运算。为了某些研究，对邻域的定义可级远远超出像元的瞬时邻域。

3、分区运算

分区运算用于处理相同值或相似要素的像元分组。这些组称为分区。分区可以是连续的或不连续的。其中，连续分区包含的像元是空间上相连的，而非连续分区包含像元的分隔区。

4、自然距离量测运算

自然距离量测运算的应用

就像围绕基予矢量要素来建立缓冲区，自然距离量测运算也有广泛应用.例如，我们可以从一幅河网或者区域断层线图创建等间隔距离分区。另一个例子是应用距离量测运算作为模型实现工具。

5、其他栅格运算

（1）栅格数据管理

剪取：可以通过指定分析掩模或者由x和y的最小、最大值定义矩形的研究区域范围，然后使用较大的栅格作为输入栅格。镶嵌可以将多个输入栅格拼接成一个栅格。如果输入栅格出现重叠，GIS软件包一般会提供在重叠区域充填像元值的选项。

（2）栅格数据提取

栅格数据提取是指从一个现有栅格中提取数据生成一个新的栅格。提取栅格数据的工具可以是一个数据集、图形对象或查询表达式。

通过“由属性提取”运算，可生成一个像元值符合查询表达式的新栅格。

（3）栅格数据的综合归纳

有几种运算可进行综合归纳或简化栅格数据。其中一种方法是重新采样，它可以将巨大的栅格数据集建成不同的金字塔层级(即不同的分辨率)。聚合与重新采样技术类似，都是创建一个像元大小比输入数据大(即较低分辨率)的输出栅格。但是，重新采样输出栅格的像元值是通过最邻近法、双线性插值法或三次卷积法计算而得口聚合方法则不然，它是计算落入输出像元中的输入像元的平均值、中值、总和、最小值或最大值，然后作为各输出像元值。