量子力学自测题（１）
一、简答与证明：（共25 分）
1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4 分）
2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6 分）
3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全
同粒子体系的波函数。（4 分）
4、证明( ˆ 2 ˆ 2 )
x x i p x − xp 是厄密算符 （5 分）
5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x pˆ 之间的测
不准关系。（6 分）
二、（15 分）已知厄密算符Aˆ, Bˆ ，满足Aˆ 2 = Bˆ 2 = 1，且AˆBˆ + BˆAˆ = 0，求
1、在A 表象中算符Aˆ 、Bˆ 的矩阵表示；
2、在B 表象中算符Aˆ 的本征值和本征函数；
3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S。
三、（15 分）设氢原子在t = 0 时处于状态
( ) ( , )
2
( ) ( , ) 1
2
( ) ( , ) 1
2
( ,0) 1 21 10 31 10 21 1 1 ψ θ ϕ θ ϕ θ ϕ − r = R r Y − R r Y + R r Y
，求
1、0 = t 时氢原子的E 、2 Lˆ 和z Lˆ 的取值几率和平均值；
2、0 > t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2 Lˆ 和z Lˆ 的取值几
率和平均值。
四、（15 分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下
哈密顿算符由下面的矩阵给出

的结果，并根据所得的结果说明+ S 和
− S 的重要性是什么？

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