630华南理工大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：量子力学适用专业：凝聚态物理


本试卷共5大题，每题30分，总分150 分共2页


1.(1)对自由粒子，下面哪些力学量是守恒量，并给出证明。(a) 动量，（b）能量，(c) 角动量，(c) 角动量平方，(d) 宇称(2) 在变分法近似理论中，证明对任意选择的归一化试探波函数y，H的期望值必高于基态能量。
2. 一质量为m的粒子在如下势阱中运动：V (x, y, z)=V(x)+ V(y)+V(z)

ìï-V0 ,V (x) = íï0,ìï-V0 ,V(y)= íï0,ìï-V0 ,V (z)=如果 x £ a /2如果 x > a /2
如果 y £ b /2如果 x > b /2
如果 z £ c /2

íï0,如果z> c /2


求-V0< E< 0下的能量本征值和本征函数。
3.有一个定域电子，只考虑自旋，它受到均匀磁场的作用，磁场B指向正x方向。磁作用势为
H = eBsmc x= e B s ,2mcx

设t= 0时电子的自旋“向上”，即s =，(1) 用含时薛定谔方程求t> 0时的波函数z2


c (t)；(2)求在c (t)状态下自旋的三个方向分量sx,sy,sz的平均值。



4. 电荷为 q 的自由谐振子，能量算符为Hp21=+mw2 x2，能量本征函数记为

02m2

y (0)(x),能量记为(0)n。如外加均匀电场e ，使总能量算符变成

p21H =+mw2x2-qe x，新的能级记为E ，本征函数记为y(x)。用微扰法或严

02m2nn

格解求解y n(x)和En，并将y n(x)用y n(0)(x)表示出来。

5.(a)写出两个无相互作用的全同费米子处于0£ x1£ a,0£ x2£ a的无限深方势阱时的哈密顿量。(b)不考虑自旋，给出系统基态，第一激发态和第二激发态的波函数，能量本征值，并确定其简并度。

（已知单粒子态为y(x)sin æ np x ö, E=）

è a øn2ma2