等比量表中数字的比例可以反映量上的比例。

★关于判断是等距还是等比（自推）：

1 等距量表的零点没有意义，等比量表的零点则代表了一个“没有测量”的变量（我把测量视为名词，大约代表“值”）。所以等距的零点才能随便换，且只为衡量测量值的差值。

——SAT就是一个等距量表，因为零值是为衡量测量值之差而存在。

——每个人的感冒次数则是等比量表，因为零值有意义且不能变动。

因此：2 等距量表的重点在于测量之间的差值，等比量表则是比例。

例如SAT测试就是等距量表，重点在于测量间的差值而非比例。

（并不排除等比量表中测量间差值的意义，但由于等比本也是等距，因此舍弃比例并无意义。）

1.5 统计符号

分数 指研究中对因变量的观察后得到的每个被试的值。

——原始分数 指研究中最初得到的、没有改变过的一组数据。

特定变量的值用X表示。

（★注意：X又叫一个量表，可视为是一类数据之意。在p48图2.14上三行有明确的表达）

第二章 频数分布

2.1概述

☆原始数据通常不会显示任何明显的模式。研究者依靠描述性统计来总结和组织他们的结果，使得当真的存在某些模式时，它们更易被发现。

描述性统计的任务：简化结构并整理组织数据。

☆最常用过程是将数据放入一个频数分布。

频数分布 是一种组织好的关于位于测量量表每个类别上的个体数目的数据表。

★频数分布显示了个体得分在测量量表上的分布情况

——频数分布可以是表或图，但均有如下两个相同因素：

1 组成最初测量量表的类别

2 频数的记录（每个类别中的个体数目）

2.2频数分布表

频数分布表的特点：

1 表中的第一列，列出了所有可能的值，即使此类别的频数为0。

★对于顺序、等距、等比量表，类别被按从高到低的顺序排列。

对于称名量表，类别可以按任意顺序排列。

2 第二列记录每个数值的频数。

3 第一列的值（如X）指的是测量量表，并非真实数据。比如X=5但此类别的个体并不存在。

4 频数可以用于求出分布中的数据个数。将频数相加可以得到个体个数的总和。

☆除了频数分布的两个基本列之外，还有其他描述数据分布的测量。

最常用的是比例和百分率。

比例 用p表示。p=f/N。

百分率 %=p（100）=f/N（100）

由于比例p描述了频数（f）和数据数目（N）的关系，故比例又可称为相对频数。

——比例通常表示为小数。

☆当一个数据组涵盖范围过大时，为了不必列出所有数据，可以使用如下办法：

分组频数分布表 将数据分成区间组，然后将区间列在表中，用区间代替每个数据。

★这里的组（即区间），叫组距。

它有四个规则：

1）应该具有大约10个组距。只是大约。

2）每个区间的宽度应为相对简单的数字。特别的，5和10可以简化计算。

3）每个组距的最小数值应为宽度的倍数。如以10为区间宽度，则这些区间应从20，30等开始。

4）所有区间应有相同宽度。它们应当无间断无重复涵盖 所有数值，使任意特定数值恰好只属于一个区间。

——在分组频率分布表中，频数是对组距的描述，即这个组距的频数为f=xxx。

并且，当分数被放入一个分组表后，会失去关于特定分数值的信息。通常组距越宽失去的信息越多。

☆当测量一个连续变量时，得到的测量对应的是线上的区间，而不是单个的点。

例如一个连续变量的X=8的频数f=3，其实是代表有3个数在7.5~8.5之间。

同样的，频数分布表中也存在实限概念。

表面界限 比如40~49的组距中，40和49为区间的表面界限。

——但是这个区间的实限则是40的下实限和49的上实限，

即：这个组距的实限是39.5和49.5。

并且组距的两实限间的距离，就是区间的宽度。

每两个组距会在实限处交汇，因此量表中没有中断。

★注意，回答“该组距的值域”时，需要回答出表面界限和实限。

★★分布表中最后一个区间是最小的区间。因为“在顺序、等距、等比量表中，类别被按顺序排列通常是由高到低”。

2.3频数分布图

☆对于用称名量表或顺序量表测量的数据，用柱形图。

☆对于用等距或等比量表测量的数据，有两种图。

1 直方图

首先将数字（测量类别）沿X轴列出，然后画出位于每个X值上的一个矩形，使得：

a. 矩形的高度对应每个类别的频数

b. 矩形的宽度为每个类别的实限。

另外，修正的直方图中，频数用方块代替，故不再需要显示频数的Y轴。

★总结（自推）：

注意p39图2.2的组距画法。

第一个矩形宽架设在0.5至1.5之间，★把刻度标在中点上。即恰好代表了组距1。

对于图2.3，75~78组和81~84组之间没有空隙，是为了看齐分组频数分布表的“无缝”。

它说明78~81组之间没有数据——这是组距的宽度决定的现象。

2 折线图

首先将数字（测量类别）沿着X轴列出，然后

1）每个坐标的中心上方有一个点，它的垂直位置对应这一类别的频数。

2）点和点之间的连续线段将这一系列点连在一起

3）最后，在分数全距（看坐标系内，别看轴）的两端各画一条直线与X轴相交（其实是零点和X最大值那点，看图）

对于一个分组分布，可以将每个点直接画在组距的中点处（中点为区间两实限的平均值）。

☆对于总体分布的频数分布图

由于其个体数过大，这种图有两个特点：

1 相对频数

在图中（可视为柱形图）只有分组（X轴）和相对频数（Y轴），没有显示绝对数目。

2 平滑曲线

当一个总体由 等比量表 的数字分数构成时，常用平滑曲线代替直方图或折线图的阶梯或锯齿状。

平滑曲线并非是将一系列点（真实频数）连在一起，而是展示从一个分数到另一个分数的相对变化。

2.4频数分布的形状

☆完整描述任意分布，★有三种特性：形状、集中趋势和变异性

集中趋势 指分布中心的位置

变异性 指数据是分散在广大区域还是集中在一起

★形状 理论上分布的形状被定义为一个方程。

而大部分分布的形状是：

1 对称分布

可以通过中心画一条垂直线使分布的一侧为另一侧的镜像

2 偏态分布

分数倾向于堆积在量表的一端并向另一端逐渐变细

另：尾 指分数逐渐向分布一段变细的部位

a）正偏态分布：尾在右侧的偏态分布（即尾指向X轴正方向）

b）负偏态分布：尾在左侧的偏态分布（即尾指向X轴负方向）

2.5 百分位数、百分等级和内插法

☆频数分布除了描述整组数据，也可以用来描述整组数据中的个体位置。

原始分数 个体分数或X值。

——原始分数本身不能提供个体位置。

其中一个变化是 将原始分数转化为百分位数。

★注意：可见，百分位数就是原始分数的一个变化。

1 一个特定分数的等级（百分等级）

指在分布中低于或等于该特定分数的个体的百分率。——等级一定是一个百分率。

——例如，全班有60%的人分数在43以下，那么分数X=43具有百分等级60%。

2 百分位数

当一个分数被它的百分等级确定后，这个分数就叫百分位数。——它依然是一个原始分数。

如上例，X=43可以被称为第60个百分位数。

☆在频数分布表中，为了确定百分位数或百分等级：

累积频数（cf） 计算量表中位于或低于每个类别的个体数目。

——因为它们表示了沿着量表向上时积累的个体个数。

（累积频数显示了处于或低于每个分数的个体个数。）

累积百分率（c%） 将累积频数转化成百分率

——因为它们显示了沿着量表向上时的累积的个体百分率。

★注意，频数分布表中的X值仍是区间，并非一个个点。

所以，当X=2的cf=2，c%=10%时，指的是：

在达到区间X=2的上限前积累了2个，且占10%。

内插法

具体步骤略

★注意：内插法的基本假定是，一个区间从一端到另一端的变化是正常的线性变化。

2.6茎叶图

略

第三章 集中趋势

★集中趋势 是一个统计测量，它确定了 能够代表分布中心的 一个数值。

——集中趋势的目的 找到最典型或最能代表整个组 的单个数值

（即 确认每一个分布的“中心”或“最具代表性的数值”。）

（集中趋势描述了一个大型总体的典型特征，使得大量数据更容易被理解。）

三种测量集中趋势的方法：

1 平均数

也叫算数平均数，是将分布中的所有数据相加并'除以数据的个数得到的。

一个总体的平均数用μ表示，一个样本的平均数用M表示。

（通常，使用希腊字母代表总体的特性，用英文字母代表一个样本的特性。）

☆我们经常需要将两组数据组合，并找出合并组的整体平均数。

整体平均数并非原先两个样本的平均数中心。由于两个样本大小不同，其中一个对整体组做出了更大贡献。因此，决定整体平均数时占了更大权数。

因此，整体平均数也叫加权平均数。

加权平均数 等于 数据总和/数据个数。

2 中数

中数 是恰好将一个分布一分为二的数值。

——这个值也相当于第50个百分位数

（中数不存在特殊符号和记号，对于样本和总体来说，中数的定义和计算相同。）

（在图形中，中数恰好将图形的面积分成两部分。）

3 众数

众数 是具有最大频率的 分数或类别

——众数可以用于确认任何测量量表的典型值或平均值，包括称名量表。

——众数是一个分数或一个类别。但绝不是频数。

——一个分布只有一个平均数，一个中数。但它可能有一个众数、多个众数，或没有众数。

具有两个众数的分布被称为双峰分布，具有多于两个众数的分布为多峰分布。

有时，具有数个等高点的分布叫无众数。

（通常双峰分布说明在同一个总体或样本里，存在两个不同的、有区别的个体组。）

——通常，众数是具有绝对最高频数的数值。但有时也表示具有相对高频数的值。

此时这个分布有两个不同的峰值，每一个值都是这个分布的众数。

☆较高的叫主要众数，较矮的叫次要众数。

☆选择一种最适合的集中趋势测量

1 平均数

优点：用到了分布中的每个数值，通常具有很好的代表性。