与最常见的变异性测量有紧密联系（如平均数和方差等）

缺点：极易受极端值影响而位移，而不能较好代表整个分布。

2 中数

1）极端数值和偏态分布

中枢不易受极端值影响。——即使极端值再变大，中数也不会因此改变。

2）未确定数值

比如有一个被试从未完成实验，只好1小时后停止实验，其时间则无法确定。

★注意：对于未确定数值

第一，不能不要这个数值。因为使用样本的目的是把握总体，这个数据告诉我们有一部分总体不能解决问题。

第二，不能记录为60分钟。要记录的是完成所需时间，个体从未完成任务，则无法记录。

——综上所述，存在未确定数值则无法计算平均值。

我们选择中数。

3）尾端开放式分布

指 一个分布的类别 没有上限和下限。例如孩子的个数量表中，存在类别“5或更多”。

这样就无法计算ΣX，更无法计算平均数。

4）顺序量表

★注意：由于平均数是 根据距离 来定义集中趋势，而中数是用方向定义的——一半分数大于中数，一半小于中数——

因此不能用平均数，而用中数来报告顺序量表的平均数。

3 众数

1）称名量表

因为称名量表不能测量数量，因此不能计算平均值和中数。

2）离散变量

3）描述形状

在一个频数分布图中，众数表示了高峰的位置。

☆集中趋势和分布形状

1 对称分布

一个对称的单峰分布：平均数、中数、众数重合于中点。

一个对称的双峰分布：平均数和中数处于中点，众数位于两侧。

2 偏态分布

正偏态分布：从左到右为 众数，中数，平均数

负偏态分布：从左到右为 平均数，中数，众数

第四章 变异性

4.1

变异性： 提供了 对一个分布中的数据 分散程度或聚集程度 的数量测量。

测量变异性的目的：获得分数在分布中的离散型的客观测量

一个好的变异性的目的：

1 描述了分布。（表示了数据是否聚集在一起 或分布在较大区域内。）

通常变异性是根据距离定义的。

2 测量了单个或一组数据能否很好地代表整个分布。

3 提供了在使用一个样本代表总体时 预期误差值的信息

4.2 全距和四分位距

全距  Xmax的上实限（URL）和Xmin的下实限（LRL）的差值。

四分位距  被分布的中间50%所覆盖的距离。等于Q3-Q1。

——其中Q1Q3为第一四分位数和第三四分位数，指分布最低的25%和分布最高的25%与其余值分隔开的界限（是一个界限）。

——一般会把它转换为半四分位距，它测量了从分布中心到50%的分布边界的距离。

由于它始于分布中央的50%，因此不易受极端值影响。

☆但它不能考虑单个数据间的真实距离，不能给出数据如何分散或聚集的全景。

4.3总体的标准差和方差

标准差 离差的平方和除以总体大小（或样本的自由度）的算数平方根。

★标准差的目的：对分数到平均数的标准距离的测量。

☆标准差推导过程里的中间量

1）离差

是每个数与平均数之间的距离。并且有正负。

★数据的离差总和为零。

——这也是标准差计算需要将离差平方的原因

——引入离差的平方，使得对变异性的测量基于距离的平方之上。

结果：给每个数据增减一个常量，标准差不变。

给每个数据增减一个倍数，标准差依同样倍数增减。

2）方差

是离差平方和除以总体大小（或样本自由度）的商。

☆对标准差的解析

1）估计

对于一个分布，标准差的范围在（a，b）区间。其中a，b分别为距平均数最近和最远的数据与平均数的距离。大约在（a+b）/2处。

2）图示

标准差线大约为从平均数到最极端值的一半

3）计算公式

标准差和方差在概念上，对于总体和样本完全相同。

★对于总体：（符号有SS平方和，μ平均数，N总体大小，σ标准差和σ2方差）

定义公式 SS=∑.  （X-μ）（X-μ）

计算公式 SS=∑（X方）-（∑X）方/N

方差和标准差略。

★对于样本：（符号有SS平方和，M平均数，n总体大小，s标准差和s2方差）

SS与总体相同，方差和标准差是除以n-1。

——为什么除以n-1：

存在如下事实：样本的变化总是小于总体的变化。（对此的感性认识可通过对总体选择样本很难达到总体的变异性程度来感受）

因此存在一个样本方差小于总体方差的偏误。

为调整此偏误，使用了n-1来使样本方差变大。

——也因此，样本方差s2又叫 估计的总体方差，样本标准差s又叫 估计的总体标准差。

4）标准差与描述性统计

（已重复）标准差的目的是对分数到平均数的标准距离的测量。

此外，它描述了分布中的数据如何变化或如何散布。

——通过测量到平均数的距离描述变异性。

除描述整个分布外，在解释单个数据方面：

——通过单个数据和平均数的距离，与标准差之间的差值大小，来确定该值是否极端。

☆样本变异性和自由度

自由度用df表示，它决定样本中独立的和可以自由改变的数值的个数。

样本的自由度是n-1。

不明白为什么“样本平均数限制了样本变异性”测量样本变异性时要先确定平均数，从而最终决定了第n个数不自由。

☆关于有偏和无偏统计量

无偏统计量 指从很多不同样本中得到样本统计量的平均数 等于相应的总体参数值，则此样本统计量是无偏的。

有偏统计量 一个样本统计量的平均数总是低估或高估相应的总体参数。

☆关于方差和推论统计

在 一组样本数据内 存在的方差通常被归类为误差方差。

——它用于指出样本方差代表了 在数值之间存在不明原因和不受控制的差异。

☆影响变异性的因素

1 极端值

全距由分布的两个极端值决定（不是两端，在图里当然是两端，在数字列举则按原话）。

标准差和方差则是被极端值影响。

——因为它们的测量基础为离差的平方和，极端值会造成不成比例的影响。

四分位距受极端值的影响最小。

2 样本大小

全距与样本大小直接相关。

标准差、方差、四分位距则相对不受样本大小影响。

——研究者不应该通过操纵样本大小影响变异性。

3 取样的稳定性

对同一个总体，当使用s和s方测量变异性时，样本倾向于有相似的变异性。

标准差和方差被称为在抽取样本时是稳定的。

4 开放性分布

指分布没有任何特定最大值或最小值的界限。

此时不能计算全距、标准差和方差。

只能计算四分位距。